贝塞尔曲线原理及实现代码

       一、原理：

       贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线

给定点 P₀、P₁，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P₀、P₁、P₂ 的函数 B(t) 追踪：

。

TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P₀、P₁、P₂、P₃ 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P₀ 走向 P₁，并从 P₂ 的方向来到 P₃。一般不会经过 P₁ 或 P₂；这两个点只是在那里提供方向资讯。 P₀ 和 P₁ 之间的间距，决定了曲线在转而趋进P₃ 之前，走向 P₂ 方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

。

现代的成象系统，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化

P₀、P₁、…、P_n，其贝塞尔曲线即

。

例如 ：

。

如上公式可如下递归表达： 用  表示由点 P₀、P₁、…、P_n 所决定的贝塞尔曲线。则

用平常话来说， 阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有

即多项式

又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 0⁰ = 1。

点 P_i 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于 P₀ 并以 P_n 终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P₀ 至P₁ 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时，B(t) 即一条由点 P₀ 至 P₁ 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t，B(t) 描述一条由 P₀ 至 P₁ 的直线。

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点 Q₀ 和 Q₁ 作为由 0 至 1 的 t：

由 P₀ 至 P₁ 的连续点 Q₀，描述一条线性贝塞尔曲线。由 P₁ 至 P₂ 的连续点 Q₁，描述一条线性贝塞尔曲线。由 Q₀ 至 Q₁ 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。 

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲线描述的点 R₀、R₁ 所建构：

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q₀、Q₁、Q₂、Q₃，由二次贝塞尔曲线描述的点 R₀、R₁、R₂，和由三次贝塞尔曲线描述的点 S₀、S₁ 所建构：

P(t)=(1-t)P₀+tP₁ , 。
矩阵表示为：
　　， 。
P(t)=(1-t)²P₀+2t(1-t)P₁+t²P₂, 。
矩阵表示为：
　　， 。

　　P(t)=(1-t)³P₀+3t(1-t)²P₁+3t²(1-t)P₂+t³P₃ 
矩阵表示为：
， 。
（6－3－2） 
， 。 
在（6－3－2）式中，Mⁿ⁺¹是一个n＋1阶矩阵，称为n次Bezier矩阵。
 （6－3－3）
。
其中，

利用（6－3－3）式，我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示，例如4次和5次Bezier矩阵为：
，
 
可以证明，n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式：
 （6－3－4）
 

二、算法（c++）

工程目录是:Win32App 
vc6.0

#include

  HDC hdc;
  static POINT pt[NUM];
  TEXTMETRIC tm;
  static int cxClient,cyClient;
  HPEN hpen;
  int i,j,k,n,t;

  switch(message)
  {
  case WM_CREATE:
      static int cxchar;
      hdc = GetDC(hwnd);
      GetTextMetrics(hdc,&tm);
      cxchar = tm.tmAveCharWidth;
      ReleaseDC(hwnd,hdc);

  case WM_SIZE:
       cxClient = LOWORD(lparam);
      cyClient = HIWORD(lparam);
      return 0;
  case WM_PAINT:
       hdc = GetDC(hwnd);
       srand(time(0));

       Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
      for(i=0; i<500; i++)
          {
            SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(j=0; j<NUM; j++)
            {
                pt[j].x = rand()%cxClient;
                pt[j].y = rand()%cyClient;
            }
            hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
             DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(k=0; k<50000000;k++);
          }
      for(i=0; i<100;i++)
      {
        Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);

        Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ; 

      }
       if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;  
        SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
        TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
        ReleaseDC(hwnd,hdc);
          DeleteObject(hpen);
          ValidateRect(hwnd,NULL);
   return 0;

  case WM_DESTROY:
      PostQuitMessage(0);
      return 0;
  }
  return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}