一、前言

  帕塞瓦尔定理，在讲解傅里叶变换的时候，也被称为能量守恒定理。在百度百科中 帕塞瓦尔定理词条中，支出这个定理产生于 1799年，由数学家 Parseval 提出，该定理也被称为 瑞利能量定理，或者帕塞瓦尔恒等式。对于信号 x(t) 以及 它的频谱，即 傅里叶变换 F(Ω) ， 它们的能量相等。等式右边的 2 π 分之一因子，是因为右边频谱的单位取 角频率 所带来的尺度因子。下面我们来证明一下这个公式。

二、证明过程

  下面根据傅里叶变换来直接证明这个公式。这里需要使用到一个复数的性质，信号的模的平方，等于它与其共轭的乘积。 这样，信号的能量是对其平方的积分， 这就等于对它与自身共轭乘积的积分。接下来，利用傅里叶反变换公式，两边取共轭，得到信号共轭的反变换。代入上面积分公式，这就形成了一个三重积分的形式。将其中的 2 π分之一系数，合并在一起，后面积分中的变量 Ω 与前面积分是不同的。将它们都增加一撇作为区分。

  接下来，交换积分顺序，先对 t 进行积分。然后再分别对 Ω一撇，以及 Ω进行积分。整理一下，于是形成下面的三重积分形式。

  对于中间对 t 的积分，它实际上是 对 常量 1 的傅里叶变换。对应的频率变量为 Omiga 减去 Omiga 一撇。我们知道，常量 1 的傅里叶变换为 2 π，δ（Ω），这样就可以写出第二重积分的表达式。再根据 delta 函数的抽样特性，关于 Ω一撇的积分，等于 F（Ω）共轭，在 Ω 处的取值。

  消去一个 2 π，然后将最后一个积分合并在一起，这就是到了我们需要证明的结果了。最后一个等式，实际上就是信号频谱能量的表达式了。

  在证明过程中，  我们可以得到下面这个公式，这个公式中，还可以将积分号中的同一个信号，更换成不同的两个信号。

  这样便可以得到一个更加一般的公式，也就是，任意两个信号的时域复内积，等于它们频域信号的复内积。这个公式也被称为 帕塞瓦尔定理。

※ 总  结 ※

  本文讨论了信号能量守恒定理，  也被称为帕塞瓦尔定理。它实际上常用的有两个等效的形式。后面一种的证明，可以仿照前面的整理而得。