基于全相位幅频特性补偿的FIR滤波器设计

1 引言
    控制边界频率一直是FIR滤波器设计的难题。传统的滤波器设计法，如频率采样法和窗函数法，因为无法控制临界频率，其应用受到限制。而一些现代滤波器设计方法，如神经网络法…、免疫算法等，这些方法设计的滤波器系数都是借助某种最优化算法对目标幅频函数进行逼近的过程中得到，但并没有解决在优化过程中如何控制边界频率问题。文献提出一种FRM(FreqLtency Responses Masking，频率响应屏蔽)设计法，它首先要设计两路满足幅度互补的原型滤波器，再将原型滤波器的每个延时器用M个延时器来代替(即内插过程)，然后分别设计两路屏蔽滤波器去滤除由于内插而产生的镜像频率特性，最后将两路响应叠加即得最后滤波输出。这样产生的滤波器系数具有稀疏特性，而总的滤波器长度并不会明显增加，此方法因为可将过渡带限制在很窄的宽度内而得到广泛应用，但该方法存在原型滤波器与屏蔽滤波器的阶数、各频带波纹相互影响及性能匹配的问题，这些问题通常要用线性规化等复杂数学途径去解决。
    本文在文献提出的全相位滤波器设计的基础上，通过变传统频率采样模式为偶对称的频率采样模式，并引入双相移组合和构造用于补偿的全相位单窗滤波器的方法，借助于MATLAB设计，使得FIR滤波器的临界频率的位置可通过改变参数λ得以解决，它具有无需多步迭代优化、设计方法简单的特点。

2 偶对称频率采样下的全相位FIR滤波器
2．1 全相位等效FIR滤波器的设计步骤
    文献提出全相位DFT滤波器设计法，具有频率采样法和窗函数法的双重性质，并指出：滤波器性能可通过加前窗f或后窗b而得以改善，f和b的设定可分为三种情况：无窗、单窗和双窗。要设计N阶全相位滤波器，需先设置一频率向量H，最终全相位滤波器可等效为长度为2N-1的FIR滤波器，其设计可分为三个步骤：(1)对H进行IDFT生成h，再对h进行定义域延伸，形成(2N一1)长度的向量h’=[h(-N+1)…h(0)…h(N-1)]T。(2)将前窗f、后窗b进行卷积并归一化后生成卷积窗wc。(3)将h’、wc对应元素相乘即得等效FIR滤波器。根据以上步骤，将生成的2N-l长度的FIR滤波器g的系数推导如下：
    设定频率向量为H=[H(O)H(1)…H(N一1)]T，假设满足传统对称H(k)=H(N-k)，(k=1，…，N-1)，令H对应的IDFT为k=[h(0)h(1)…h(N-1)]T。令WN=e-j2π/N，对h(n)的定义域进行延拓可得向量h’：

2．2 偶对称频率采样下的全相位FIR滤波器
    事实上，H也可设为偶对称形式，即满足H(k)=H(N-1一k)，(k=0，…，N-1)。如N=16时，可设为：H=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]T，这时式(1)的IDFT结果为复数，从而式(4)的FIR系数也为复数。为得到实FIR系数，需要将式(4)的g乘以一相移向量v0=[v0(-N+1)…v0(一1)v0(0)v0(1)…v0(N-1)]T，其中结合式(4)，其FIR滤波器系数变为：

   
    令频率采样间隔△ω=2π/N，文献证明：无窗和单窗全相位滤波器的传递曲线严格通过频率设置点k△ω,k=0，1，…，N—l而式(5)对滤波器系数乘以相移向量v0后，根据傅氏变换的频移性质，其频率设置点也相应右移0．5△ω，即严格通过ω=(k+0．5)△ω，这样就形成了偶对称的频率采样模式。例：当N=8时，令传统频采向量H=[1 1 l 0 0 01 1]T偶对称频采向量He=[1 1 0 0 0 0 1 1]T。则这两种模式在[O，2π)内的采样点分布如图1所示。

3 全相位幅频补偿法下的低通滤波器设计
    以N=16为例，将偶对称频率采样向量H设为：H=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 l]T，在加汉明单窗的情况下，采用前面的全相位FIR滤波器设计步骤，可得到如图2所示的幅频曲线。

    从图2可看出：|H(ejω)|曲线在通带内和阻带内均较平缓，且严格通过通带边界频率采样点ω1=2．5△ω和阻带边界频率采样点ω3=3．5△ω，这样就可把过渡带严格控制在频率采样问隔△ω内。另外，还可发现，频率采样点ωl与ω3间的曲线的线性度很好(N越大时，线性度越好，其线性程度还可通过窗函数进行调节)，若近似把这段曲线看成是直线段，则可估计3dB截止频率ω2的大致位置为ω2*=(3．5-0．7071)△ω=2．792△ω=1．097(rad．s-1)，实际图2中ω2=2．839△ω=1．115(rad．s-1)，两者存在0．018(rad．s-1)的微小差别，增大N或者选择一个好的窗函数可将此差别减小。
    以下通过幅频特性补偿法，可实现图2的边界频率ωl、ω2、ω3的位置精确平移控制：
    把频率向量H分为两单边带部分H=Hl+H2，其中H1=[l 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T,H2=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]T。根据H1、H2，同样按全相位滤波器构造步骤可分别形成两个子滤波器h1，h2，根据式(1)和式(5)，其各自对应的滤波器系数分别为(M=3，N=16)：

   
    显然满足h1(n)=h2*2(n)，从而根据傅立叶变换的性质，有：

   
    如图3所示：两者幅频曲线关于ω=π对称。

    实际要求的截止频率往往不会恰好落在图2所示的频率采样点上，传统方法只有增大滤波器长度N来实现来调整边界频率。为实现不改变Ⅳ来控制边界频率，可把这两子滤波器曲线进行平移来实现。由于图3两子滤波器曲线是对称的，若将这两条曲线各自朝相反方向平移相同距离，再把两子滤波器合成一个滤波器，就可得到实系数的低通滤波器，假设要平移λ个△ω，则平移后的两子滤波器的FIR系数为：

    把两子滤波器系数相加后得到的滤波器系数g’为：

   
    取λ=0．25时，平移后的两个子滤波器及其复合叠加后的传输曲线如图4(a)、4(b)所示。

    相比于图3：图4(a)的子滤波器1、2的传输曲线分别往右和往左移动了0．25个△ω。图4(b)是将两子滤波器复合叠加的结果：可发现其低频区域凹下一块，这就是说，复合后的滤波器不具备低通特性，因而需用全相位补偿法予以解决。
    借助计算机辅助设计可得到G'(ejω)在ω=0和2π／N处的值，令a=|G(ej0)|，b=|G(ej2π/N)|，设置一频率向量Hc=[1一al一b 0 0 00 0 0 O O O 0 0 0 0 1—b]T，利用Hc采用全相位设计可构造出一补偿滤波器：图5(a)为在加kaiser(N，1)窗与矩形窗卷积形成的单窗下而得到的补偿滤波器hc的幅频曲线，图5(b)为补偿后的滤波器g的幅频曲线。很明显，补偿后的幅频曲线消除了低频区的凹口，获得了平坦特性。
    由于补偿后的滤波器系数由两个子滤波器系数h1'、h2'和补偿滤波器hc叠加而来，从而有：

   
    图5(b)中的边界频率为：ωl=2．75△ω，ω2=3．089△ω，ω3=3．75△ω。相比于图2，都精确地平移0．25个△ω。
    由于hl’、h2’系数互为共轭，且补偿滤波器hc的系数也为实数，因而滤波器g的系数也为实数。

4 全相位补偿法下的其他类型滤波器设计
    除设计低通滤波器外，采用这种补偿的方法可设计任意类型的FIR滤波器，大致都可分为如下步骤：(1)从偶对称的频率向量H衍生出两个互为对称的向量Hl、H2(2)利用H1、H2按照全相位滤波器设计步骤设计出两个子滤波器h1，h2(也可形成子滤波器对)。(3)再将子滤波器hl，h2分别乘以互为共轭的相移向量vl、v2，令相移后的子滤波器分别为h1’、h2'。(4)将滤波器h1’、h2’进行复合而得到g'，其对应的幅频函数为G'(ejω)。(5)借助于计算机辅助设计，得出G'(ejω)在需要补偿的k△ω频率点处的值。(6)根据补偿频率点处的G'(ejω)值构造出补偿频率响应向量Hc，并根据Hc选择适当的单窗构造出补偿滤波器hc。(7)将h1'、h2'、hc进行复合叠加得到最后的滤波器g。
    各种类型滤波器的构造区别仅在于步骤(1)的频率向量的衍生方式、步骤(4)的复合方式及步骤(5)补偿频率点的选择位置有所不同。由于篇幅所限，对各类型只作简单描述：
4．1 高通滤波器的设计
    将步骤(1)的高通频率向量H用旁补法的衍生方式形成两个对称的频率向量H1、H2，然后利用幅频曲线的高频区域的幅频值构造补偿滤波器hc，再根据式(10)得到最后的高通滤波器系数。
4．2 带通滤波器的设计
    其基本思想是采用两个截止频率不同的低通滤波器系数相减的方法得到带通滤波器。由于每个低通滤波器可分成2个频率向量，因此需要分解成4个单边带的频率向量。以N=32为例，设两个低通频率向量分别为：

   
    由Ha、Hb可分别分裂成两个频率向量，从而可得到四个单边带的频率向量：

   
    设定两个频移参数λ1、λ2，使得Ha1、Ha2对应的滤波器传递曲线朝互为相反的方向各自移动λ1个2π/N(rad／s)，而Hb1、Hb2对应的滤波器传递曲线朝互为相反的方向各自移动λ2个2π／N(rad／s)，假设平移后四个单边带频率向量对应的滤波器系数为ha1'、ha2'、hb1'、hb2'，则复合后的带通滤波器系数可表述为：

   
    由于ha1、ha2、Hb1、Hb2都对应低通传输特性，因此需要补偿的频率点位置也出现在低频区，采用3．1旁补法即可得到补偿滤波器hc。再按照步骤(7)即可得到最后的带通滤波器g。
    可见，通过设置频移参数λ1、λ2就可灵活调整带通滤波器的频带位置及其带宽，因而控制了边界频率。
4．3 陷波器的设计
    以具体实例来说明基于全相位幅频补偿法的陷波器的设计，以N=16为例，假设陷波偶对称频率向量H=[l 1 1 0 1 1 l l 1 1 l 1 0 1 1 1]T，其对应的幅频特性及其衰减特性如图6所示：由于幅频曲线严格通过(k+0．5)△ω的频率采样点，因此边界频率ω1=2．5△ω，ω3=3．5△ω，其中陷波点ω3处的衰减可达一300dB以下；3分贝角频率ω2=2．830△ω，3分贝带宽△ω2=1．34l△ω。
    可将H衍生为两个频率向量Hl、H2：

   

    令频移参数λ=0．25，将H1、H2、λ代入式(8)可得对应平移后的滤波器h1'、h2'，将它们按式(12)叠加，即得复合后的陷波器系数：

   
    式(12)的g(0)要减去l，是因为h1'、h2'叠加过程中会引入大小为1的直流量，因而需要将此直流量减去。直流调整后的陷波曲线如图7所示，图7(a)表明：所有的边界频率点都精确地移动了0．25△ω，各边界频率变为但是图7(b)表明：陷波器的衰减性能变差，原因是陷波点移动后，ω1仍为子滤波器1幅值为0的频率设置点，但偏离了子滤波器2幅值为l的频率设置点。借助MATLAB可测出G'(ejω1)值，令μ=|G'(ejω1)|，用-μ值去替代H1、H2中幅值为0的频率采样值，重新代入式(9)和式(11)得到的衰减曲线如图8所示。

    图8表明，经过μ值修正后的衰减特性仍可达-300dB以下。对应的陷波器系数如表l所示。

5 结论
    本文提出基于全相位幅频特性补偿的FIR滤波器设计法，在偶对称的频率采样基础上，通过引入双相移组合和构造补偿滤波器的方法，它可把过渡带控制在频率采样间隔内。增大滤波器阶数N有利于控制过渡带内幅频曲线的线性度和减小边界频带宽度。并且在实际的数字滤波应用场合，可在不增大N的情况下，通过设置频移参数λ来解决对低通、高通、带通、陷波各滤波器的边界频率位置的任意点移动控制问题。