用双线性变换法设计IIR滤波器

O 引言
    滤波器从广义上来说对特定的频点或频点以外的频率进行有效滤波的电路，这种电路保留输入信号中的有用信息，滤除不需要的信息，从而达到信号的检测、提取、识别等不同的目的。如果处理的信号是时域离散信号，那么相应的处理系统就称为数字滤波器，由于在实际工作中被处理的信号都是幅度量化的数字信号，因此，数字滤波器实际上是用有限精度的算法实现一个线性时不变的时域离散系统。目前，数字滤波器的应用越来越广泛，它已深入到很多领域，如图象处理、医学生物信息处理、地质信号处理和模式识别处理等。
    数字滤波器的种类很多，分类方法也不同，可以从功能上分类，也可以从实现方法上及设计方法上来分类等等。滤波器在功能上总的可分为四类，即低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)、带阻(BS)滤波器等，从实现方法上，由有限长冲激响应的数字滤波器被称为FIR滤波器，具有无限长冲激响应的数字滤波器称作IIR滤波器。

1 IIR滤波器的设计
1．1 双线性变换法的基本原理
    本文中用的是双线性变换法，因此这里简单介绍一下。双线性变换法的S域与Z域间的变换关系为：

   
    由式(1)可以看出，z和s之间可以直接代换，由于这是一非线性变换，需考察一下是否能把jΩ映射成单位圆，以及是否能将s域左半平面映射到单位圆内部。
    对于5平面上的虚轴jΩ，用s=jΩ代入式(1)得：

   

    可见：
    上式表明S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)经映射后确已成为z平面上的单位圆，但Ω与为非线性关系，因此，通过双线性变换后两个滤波器的频率特性形状不能保持相同，双线性变换不存在混迭效应。
    对于s域的左半平面，用s=σ+jΩ入式(1)，得到：

    此式表明，当σ<0，有|z|<1，因而s平面的左半平面被映射在单位圆内部，这意味着稳定的模拟滤波器经双线性变换可以映射成稳定的数字滤波器。
1．2 IIR滤波器的设计
    IIR数字滤波器的设计借助模拟滤波器原型，再将模拟滤波器转换成数字滤波器，这些过程已经成为一整套成熟的设计程序。模拟滤波器的设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的公式，而且还有较为完整的图表查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大的方便。
    已知数字低通滤波器的设计要求wp，ws，Rp和As，首先设计一个等效的模拟滤波器，然后再将它映射为所期望的数字滤波器来确定H(z)。对这个过程所要求的步骤是：
1)选取T并确定模拟频率：利用设计参数Ωp，Ωs，Rp和As，设计一个模拟滤波器Ha(s)；这可以利用模拟滤波器的原型来完成；3)再将(1)代入Ha(s)，求出H(z)。
    本文给定数字滤波器特性为：

   
    对于幅度衰减指标，模拟和数字是一样的。综上（1）、（2），模拟滤波器特性如下：

   

    现在可以开始设计模拟滤波器，进而确定数字滤波器。下面给出Butterth滤波器逼近的方法。
    首先确定阶数N和截止角频率，根据指标要求列出：

2 IIR滤波器的MATLAB实现
    模拟型滤波器的设计过程，步骤繁琐，计算量大。在MATLAB中，我们可以直接根据所给定的数字滤波器指标调用特定的函数来确定滤波器的系统函数。具体实现过程如下(程序的主要部分，且只返回数字滤波器的阶数和截止
频率)：
    为调用阶数选择函数，下面的指标已经把Wp和Ws对π进行了归一化，且函数中返回的频率也是归一化频率。

    同理可实现ChebyshevI、ChebyshevII、ellipSe数字滤波器。Butterworth型和ellipke型系统的幅频和相频特性如图l；ChebyshevI与ChebyshevII系统的幅频和相频特性如图2(频率为对π归一化频率)。

3 结论
    从图中我们可以看出，ButterWorth滤波器的频率特性是平坦的，没有出现波动，即幅度随着频率单调递减，它的相频特性接近于分段特性。而椭圆滤波器幅频特性存在着波纹(图中由于坐标比例的关系，只能画出通带波纹，阻带波纹则无法显示)；同时，它不具备线性相位特性。两种契比雪夫滤波器的频率特性如图所示。从中可知道，这两种滤波器的幅频特性都有着波动(其中，由于CII型滤波器是在阻带中出现等波动，因此无法表示出来)，它们不具备线性相位特性。
    为了比较这四种滤波器的性能高低，我们比较了实现相同的指标所需的最低滤波器阶数：Nbutt=14；Nchebl=8；Ncheb2=8；Nelli=6。
    这样可以清楚地看出：ButterWorth滤波器需要最高的阶数14；两种契比雪夫滤波器所需要的阶数是一样的8阶，说明它们具有相同的性能；而椭圆滤波器具有最小的阶数4，说明它的性能在这个意义上是最优的。