S波段耦合腔行波管非线性注一波互作用方程组的数值解

1 基本方程
1．1 激发方程
    令第n次本征模式轴向电场为：

   
    可得扰动电子注激励的电场为：

式中：定义为n次谐波的耦合阻抗；

ψ(r⊥)为电子注横向分布函数y）ds。所有本征模中只有个别模式与电子注同步，且除了电子流i（z）激发的同步波之外，还有输入的“冷波”，即E0e-r0z，则具有外加激励源E0e-r0z的同步场为：

   
式中：K0，г0，β0分别为该同步模式的耦合阻抗、传播常数、相位常数。式(1)两边同时对z求导2次得到熟知的激发方程： 

   
1．2 运动方程
    相对论下电子的运动方程为：

   
    能量守恒方程为：

   
    式(4)代入式(3)可得一维电子运动方程：

   
又由：
   
所以式(5)可写为：

   
其中：Ez=Ecz(线路场)+Esz(空间电荷场)；y=(1一v2/c2)-1/2为相对论因子，c为真空中的光速，v为电子速度。
1．3 电子流复振幅方程
    电子流是时间的非简谐周期函数，含有高次谐波，用傅氏分析。

   

2 慢变系统中归一化
    上述是在实验室坐标系下得到的迅变方程，为了处理问题的方便和计算结果普遍性强，通常将其归一化到电子坐标系内，获得慢变方程。
    为了表述方便，先引入迅变坐标系的归一化量：归一化距离为ξ=ω/v0z=βez；归一化时间为φ=ωt=2πt=/T，归一化场为f=|e|E/mvoω。则慢变系统中的归一化：归一化轴向距离为θ=Cξ=Cβez；归一化相位φe=ψ-ξ；归一化场幅值为Fcn(θ)=(eE／C2mvoω)ejnθ；归一化电流幅值为

    式(8)～(10)组成了行波管大信号注一波互作用基本工作方程组。其中Cn3=I0Kcn/4V0为n次谐波增益参量，bn=(V0一Vpn)／C1Vpn非同步参量，dn=aon／βeCn为衰减常数，rn=bn-idn。

3 空间电荷场的计算
    由文献可知z0处圆盘在z处圆盘平面上各点产生的平均空间电荷场为：

其中：Q为圆盘所带电量；6为电子注半径；a为漂移管半径，如图1所示，μ0n为零阶Bessel函数的第n个根。由此可知场是关于z的函数，可以表示为：

   
其中：B(| z—z0|)是以| z—z0|为变量的函数，由式(11)可以做出如图1所示曲线。

    由图1可知，如果用近似式代替式(11)，所引起的误差很小，而计算式却大大简化了。采用该式时，所有圆盘产生的空间电

，
其中：ωp为电子等离子体频率；η为电子荷质比；v0为电子注初速度。仿真中用式(13)代替式(9)中的Fsz。

4 休斯结构耦合腔
    休斯型耦合腔的剖面结构为图2(a)所示，图2(b)为其截面图，表1为设计s波段耦合腔行波管的结构参数。

5 仿真结果及讨论
    在上述尺寸下，对2．87～3．35 GHz频率范围内的休斯结构耦合腔行波管进行了数值分析，仿真中电子注的注电压U。一21 kV，注电流L一1 A，波的输入功率Pin=300 w。采用四阶龙格一库塔法求解互作用方程组式(8)～(10)，其结果如图3～图6所示。

    图3给出了在中心频率f=3．100 7 GHz时电子的相位轨迹。由图可知，电子在归一化轴向距离Z=2．4附近获得了较好的群聚，此即为最佳互作用距离。由图4可以看出该频率的波在此处获得最大增益，此后电子注离开最佳互作用区，效率降低，增益下降。

    图5给出了中心频率时电子注效率随轴向距离的变化曲线。图中实线为不考虑空间电荷力的情况，虚线为考虑空间电荷力的情况。由图可知，空间电荷力的作用使得饱和位置推后，增益下降，即空间电荷力起发散作用。图中效率刚开始时为负值，是因为电子刚进入互作用区时要得到部分能量，表现电子效率为负值。
    图6给出考虑空间电荷场时，2．87～3．35 GHz内各频点的微波增益。由图可知，在给定电子注注电压，注电流，和波的输入功率等参量的情况下，频带内微波增益均大于18．5 dB。

6 结 语
    对S波段休斯结构耦合腔行波管非线性注一波互作用工作方程组进行了数值求解，求出考虑和不考虑空间电荷场时中心频率．厂一3．100 7 GHz处的效率，说明空间电荷场对互作用起散焦作用，与文献中结论很吻合。求出工作在2．87～3．35 GHz频率范围内耦合腔行波瞬时带宽。仿真中所用管子已制作完成，实验数据对后期管子的热测试有很好的指导意义。