运算放大器的有限增益带宽积对active-RC滤波器Q值的影响及其补偿方法

摘要：文章从数学上分析了运算放大器的有限增益带宽积对active-RC滤波器Q值的影响，得出了滤波器Q值升高的结论，并且研究了滤波器Q值升高的补偿方法。我们对5阶低通滤波器的Biquad引入补偿电容Cm的前后进行仿真对比，发现补偿电容Cm会使滤波器的Q值降低，并抵消由于运放有限增益带宽积带来的影响。
关键词：运算放大器；增益带宽积；active-RC滤波器；Q值

0 引言
    随着集成电路工艺的飞速发展，采用CMOS技术设计射频接收机变成现实，我们已经进入射频CMOS时代。在射频接收机中，信道选择滤波器的主要作用是从许多信道中选出我们需要的那个信道，然后把邻近信道信号和其它的带外干扰过滤掉。信道选择滤波器对线性度的要求非常高，通常Gm-C滤波器很难满足其线性度的要求，active-RC滤波器是基于运放的负反馈应用，它的线性度很高，所以active-RC滤波器最适合做信道选择滤波器。运放是active-RC滤波器中的关键模块，滤波器的带宽越宽，Q值越高，对运放的增益带宽积(GBW)的要求也就越高，滤波器的性能通常受限于运放的GBW。运放的有限GBW对active-RC滤波器的最主要影响是使其Q值升高，关于这方面的经验性结论多，具体的数学分析却很少。本文从数学上来分析运放的有限GBW对滤波器Q值的影响，推导出具体公式，并且研究其补偿方法。

1 运放的有限GBW对active-RC滤波器Q值的影响

    图1(a)是active-RC积分器，它是滤波器中基本的单元模块，其理想传输函数为式(1)：
   
    积分器的理想品质因子Qint,ideal→∞，相位φint,ideal=-π／2。 实际上运放的有限GBW影响其传输函数，我们把运放近似为一个单极点系统，其传输函数为式(2)：
   
    Wamp是运放的主极点，WGBW是运放的增益带宽积。在我们感兴趣的频率范围内，运放的传输函数可以简化为式(3)：
   
    考虑到运放的有限GBW，通常WGBW>>1／R1C1，积分器的实际传输函数为式(4)：
   
    图1(b)是一阶Active-RC滤波器，它同样是滤波器中基本的单元模块，其理想传输函数为式(7)：

    从式(12)可以得出，一阶滤波器的实际Q值会由于运放的有限GBW而升高。

    在分析了active-RC滤波器中的一阶单元模块的基础上，我们接下来分析滤波器的二阶单元模块Biquad，Biquad是滤波器中最基本的二阶模块。图2是Two-Thomas Biquad电路，我们采用的Two-Thomas Biquad是一种非常灵活可调的Biquad电路结构，它的灵敏度低，其理想传输函数为式(13)：


    从式(17)可以得出，Biquad的Q值同样会因为运放的有限GBW而升高。以上是针对一阶系统和二阶系统推导的，对于级联的高阶系统完全可以依次类推。根据式(12)和(17)，为了使运放的有限GBW对滤波器Q值影响比较小，则WGBW必须远远大于Q*wp。

    为了验证前面的理论分析，我们对一个5阶active-RC低通滤波器进行仿真，在不同的运放GBW下的频率响应如图3所示。这个滤波器的LCR原型是5阶Chebyshev I型低通滤波器，带宽是19．7MHz，带内纹波0．1dB。从图3可以看出，运放的GBW越宽，active-RC滤波器的实际频率响应与理想的LCR原型滤波器越接近；运放的GBW越窄，active-RC滤波器的实际Q值越高，越偏离滤波器的理想特性。同时可以看出，要使滤波器的实际频率响应接近LCR原型的频率响应，所需的运放GBW很大，这在具体电路设计上难以实现，并且消耗的电流也太大。

2 针对active-RC滤波器Q值升高的补偿方法
    从前面的分析得出，如果要使滤波器的频率响应接近LCR原型的话，所需运放的GBW很大，甚至不现实。所以我们就必须研究其补偿方法，让滤波器的Q值降低，与理想的LCR原型接近。对比式(15)和式(16)，可以看出由于运放的有限GBW使Two-Thomas Biquad产生了额外的相位-2wp／WGBW，这个额外的相位为式(18)：
   
    从式(18)看出，这是一个相位滞后，因此我们必须引入一个超前的相位来补偿。在图4中引入电容Cm对active-RC滤波器的Biquad进行相位超前补偿，其超前的相位为式(19)：
   

    对比式(18)和式(19)，如果选择l／R4*Cm=WGBW／2，则由运放的有限GBW引入的滞后相位和补偿电容Cm引入的超前相位可以相互抵消，避免滤波器Q值升高，减小对运放GBW和功耗的要求。图5是在相同的运放GBW的情况下，在一个5阶低通滤波器的Biquad引入补偿电容Cm前后的仿真对比，从图中可以看出，补偿电容Cm使滤波器的Q值降低，抵消由于运放有限GBW带来的影响。在实际的电路设计中由于要保证滤波器具有一定的线性度和稳定性，运放的带宽不能太小，通常选择运放的GBW为滤波器Q*wp的10倍左右。

4 结论
    通过分析运放的有限GBW对active-RC滤波器Q值的影响，我们找到了针对滤波器Q值升高的补偿方法。在相同的运放GBW的情况下，对5阶低通滤波器的Biquad引入补偿电容Cm的前后进行仿真对比，发现补偿电容Cm会使滤波器的Q值降低，并抵消由于运放有限GBW带来的影响。在实际的电路设计中由于要保证滤波器具有一定的线性度和稳定性，运放的带宽不能太小，通常选择运放的GBW为滤波器Q*wp的10倍左右。