基于Matlab的FIR数字滤波器设计

摘要：提出FIR敷字滤波器的设计方案，并基于Matlab实现滤波仿真。通过使用Matlab信号处理工具箱提供的函数，选择适当的窗函数编写程序，其中窗函数按照实际信号的处理需求，参数折中选择。实验获得了比较理想的滤波器特性，可以实现较好的滤波作用。而且在实际应用中只需按需求修改滤波器参数，并结合程序的相应改动，即可实现不同功能的滤波器。另外，介绍了利用FDATool设计滤波器的方法，简单修改参数即可实现多种滤波器。
关键词：Matlab；FIR窗函数；FDATool；滤波器

    数字滤波器可以过滤时间离散信号，通过对抽样数据进行数字处理来达到频域滤波的目的，目前已经广泛应用在高保真的信号处理，如数字音频、图像处理、数据传输、生物医学等领域。由于计算机技术和大规模集成电路的发展，数字滤波器已可用计算机软件实现。借助Mathb强大的数据处理能力，灵活使用模块集和工具箱，可以按照需求编写程序来实现多种滤波器设计。伴随Matlab的不断发展以及工具箱的不断开发，工作平台的改善，使用Mathb的编程工作量会大大减少。Matlab提供了完整的联机查询、帮助系统，提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。而这也使得基于Matlab的设计变得方便易于使用。

1 数字滤波器及设计方案
    应用数字滤波器处理模拟信号时，首先要对输入模拟信号进行限带、抽样和模／数转换，数字滤波器输入信号的抽样率应大于被处理信号带竟的两倍，其频率响应具有以抽样频率为间隔的周期重复特性，且以折叠频率即1／2抽样频率点呈镜像对称。滤波器的输出信号须经数／模转换、平滑处理。
    FIR数字滤波器的输出值u(Kt)与输出的过去值u(Kt-kt)表达关系如下：
   
    这是不断乘累加的过程，解决了滤波器的系数α问题，再加上乘法和加法计算即可实现滤波器设计。由于FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长序列，因此滤波器没有不稳定的问题，FIR滤波器一般为非递归结构，因此在采用Matlab设计时采用有限精度的计算，以避免出现递归结构中极性震荡等不稳定现象。常见的两种FIR滤波器设计方法是窗函数法和频率采样法。虽然频率采样法可以精确控制采样点的频率响应，但是设计中必须插入过渡点来改善纹波，而且截止频率不易控制，过渡点也需要进一步的优化，对比来看窗函数法则是一种基本的设计理念，设计方法比较成熟。并且Matlab中提供的函数可以方便地实现加窗线性相位FIR滤波器设计，包括了比较常见的低通、带通、高通和带阻数字滤波器。本文采用的是窗函数结合编程的设计方法。
    窗函数法的基本思想是先给定理想的滤波器频响为，
   
    式中：ωc为截止频率；α为采样延迟。
    而所要求设计的频响为，之后的工作便是使逼近。加窗w(n)对理想滤波器的单位抽样响应hd(n)(见式(3))截断，得到所要设计的h(n)。
   
    对于FDATool设计法，本文通过选择适当参数，利用Matlab完成。

2 FIR数字滤波器设计
2．1 窗函数法设计FIR滤波器方案
    在Matlab中可直接产生窗函数：矩形窗(Rectangle Window)，三角窗(Triangular Window)，汉宁窗(Hanging Window)，凯塞窗(Kaiser Window)等，通过调用系统的函数即可实现窗的加载。具体调用方法如下：调用格式：w=函数名(n)，根据长度n产生一个矩形窗w。一般正常的心电信号频率范围在0．05～100 Hz之内，这本身就是一种比较微弱的电信号，当受到身体其他器官的干扰信号后，心电信号将会严重失真。另外还要考虑到电子器件噪声和50 Hz的工频信号的存在。这就需要尽量消除噪声和干扰的影响。这里选取低通滤波器的设计指标为：通带截止频率ωp=0．2π，阻带截止频率ωs=0．3π，最小阻带衰减As≥50 dB。所以得出过渡带宽tr_width=ωs-ωp，列长N=10 π／tr_width。选择窗函数一般是选择主瓣较宽的，这样可以增加阻带的衰减，保证了通带的平稳，另外在保证阻带最小衰减指标的情况下，适当增加列长N值，窄化过渡带。根据窗函数最小阻带衰减的特性。只有海明窗和凯塞窗可提供大于50 dB的衰减。实际应用中选用窗函数大多是它们的折中，凯塞窗可以通过改变参数值来折中选择主瓣宽度和旁瓣衰减，基于此的滤波器适应能力强且比较灵活。本文即是采用的凯塞窗编程设计。窗函数设计法是用一定宽度窗函数截取无限脉冲响应序列获得有限长的脉冲响应序列，设计步骤为：
    (1)通过傅里叶逆变换获得理想滤波器的单位脉冲响应hd(n)。
   
    (2)由性能指标确定窗函数W(n)和窗口长度N。
    (3)求得实际滤波器的单位脉冲响应h(n)，h(n)即为所设计FIR滤波器系数向量a(n)。
   
    (4)检验滤波器性能。
    Matlab信号处理工具箱提供了各种窗函数、滤波器设计函数和滤波器实现函数。设计中利用Matlab提供的函数firl来实现，编程则是直接调用这些函数简单直观的完成设计。调用格式：firl(n，Wn，‘ftype’，Window)，其中n为阶数、Wn为截止频率、ftype是滤波器的类型、Window是窗函数。应用凯塞窗的代码如下：

    程序执行的结果如图1，图2所示。

    从滤波效果图看，所设计的滤波器基本消除了噪声和干扰的影响，客观的得出真实信号。按照设计方案中滤波器的指标，执行函数操作可以得到：N=68，As=59。之后增加参数N值。在该设计中，利用凯塞窗函数，执行了多种N值的改变。伴随N值增大，过渡带变窄，但阻带的最小衰减没有改变。
2．2 FDATool设计方案
    FDATool(Filter Design＆Analysis Too1)是Matlab信号处理工具箱专用的滤波器设计分析工具，操作简单、灵活，可以采用多种方法设计FIR滤波器。这种方法设计的数字滤波器，可以随时调整滤波器滤披特性，而且滤波结果实时显示在图形区，减少了工作量，有利于滤波器设计的进一步优化。在Matlab命令窗口输入FDATool后回车会弹出FDATool界面，也可在Matlab主界面下方选择“start”→“toolbox”→“ filterdesign”。具体参数选择为：
    (1)滤波器类型(filter type)为lowpass；
    (2)设计方法(design method)为FIR，使用窗口Window；
    (3)滤波器的阶数(fiter order)为15；
    (4)窗口类型(Window)为Kaiser，beta为0．5；
    (5)fs为48 000 Hz，fc为10 800 Hz。
    点击“design filter”即可。值得注意的是，这里选择filter order为15阶，而不是所设计的16阶滤波器。因为常数系数项h(0)=0。通过菜单“analysis”选择“magnitude”和“phase response”即可得到图3，图4的特性显示。“analysis”选择“step response”和“im-pulse”可以得到图5，图6的响应显示。可以看出所设计FIR滤波器的阶跃响应和冲击响应比较接近理想状态。

3 结论
    从图1～4的特性曲线中可以看出该滤波器的性能基本达到了妻求，滤波作用比较明显。曲线相对比较平稳，能够满足微弱信号滤波器的设计技术指标。特别是从方案二中的相频特性曲线来看，曲线通过原点且为一条平滑直线，说明具有良好的线性相位特性，而这也是在应用中选择FIR数字滤波器的重要原因，但是它的实际效果还要经过实践的检验。FIR幅频特性精度比IIR低，且滤波器所需阶次比较高，但是它拥有很好的线性相位，即不同频率分量的信号经过FIR滤波器后他们的时问差不变。另外，FIR还存在的缺点应加以改善，如信号的延迟偏大。这就考虑到用高性能的DSP器件，由于其处理速度快，此缺点在一点程度上是可以改善的。

4 结语
    本文通过设计实例，介绍了利用Matlab实现数字信号处理中的数字滤波器设计，从结果可以看出它们均可以达到技术指标要求，而且方法简单、快捷，大大减轻了工作量。滤波器的设计工作完成后，可以借助Matlah的export操作导出所设计滤波器的系统函数H(x)。由于Matl-ah具有强大的接口功能，仿真后的结果可以很方便的移植到DSP，CPLD或FPGA等器件中。在实际应用中，只需按要求修改滤波器参数，并对程序作较少的改动，即可实现不同的滤波器，实用性较强。