窗函数的选择

窗函数的选择

摘要：在信号分析时，我们一般会截取有限的波形数据做傅里叶变换，这个截断过程会产生泄漏，导致功率扩散到整个频谱范围，产生大量“雾霾数据”，无法得到正确的频谱结果。虽然知道加窗可以抑制泄漏，但复杂的窗函数表达式及抽象的主瓣旁瓣描述方法，另人更加迷惑，下面我们抛弃公式用通俗易懂的方式介绍窗函数的选择。

1. 加窗与窗函数

在数字信号处理中，常见的有矩形窗、汉宁窗、海明窗和平顶窗，这里不再赘述窗函数的表达式，只讨论窗函数的使用，下图直观地描述了信号加窗的过程及窗函数基本特征。

图 1 信号加窗后频率普图

直观地，在时域上看，加窗其实就是将窗函数作为调制波，输入信号作为载波进行振幅调制(简称调幅)。矩形窗对截取的时间窗内的波形未做任何改变，即只是截断信号原样输出。而其它三种窗函数都将时间窗内开始和结束处的信号调制到了零。

更普遍地，绝大部分窗函数形状都具有类似从中间到两边逐渐下降的形状，只是下降的速度等细节上有所区别。这个特征体现了加窗的目的——降低截断引起的泄漏，所有窗函数都是通过降低起始和结束处的信号幅度，来减小截断边沿处信号突变产生的额外频谱。

2. 窗函数的选择

从图 1中很明显看出，加窗后信号时域的变化显著，由于后续的处理一般是进行傅里叶变换，所以我们主要分析加窗对傅里叶变换结果的影响。傅里叶变换后主要的特征有频率、幅值和相位，而加窗对相位的影响是线性的，所以一般不用考虑，下面讨论对频率和幅值的影响。

加窗对频率和幅值的影响是关联的，首先需要记住一个结论：对于时域的单个频率信号，加窗之后的频谱就是将窗谱的谱峰位置平移到信号的频率处，然后进行垂直缩放。说明加窗的影响取决于窗的功率谱，再结合上图 1中最后一列窗函数的功率谱，容易理解其它介绍文章中常看到的对窗特征的主瓣、旁瓣等的描述。

再来看窗函数的功率谱，从上到下，窗函数的主峰(即主瓣)越来越粗，两边的副峰(即旁瓣)越来越少，平顶窗的名称也因主瓣顶峰较平而得名。主瓣宽就可能与附近的频率的谱相叠加，意味着更难找到叠加后功率谱中最大的频率点，即降低了频率分辨率，较难定位中心频率。旁瓣多意味着信号功率泄露多，主瓣被削弱了，即幅值精度降低了。

有了规律，窗函数的使用就简单多了。在需要频率分辨率高时，使用旁瓣少的窗口，如汉宁窗，而矩形窗旁瓣太多，泄漏太大，无法抑制泄漏;在需要幅值准确时，可以使用平顶窗。当然，对于一次过程时间小于窗口的暂态信号或冲击波形，信号开始和结束处本身就是零，不存在截断引起的泄露，不需要加窗抑制，因此只需要用矩形窗即可。对于连续的周期性波形，可以结合不同的窗口获得所关注的结果。

注：那么能不能设计一种完美的窗函数，只有主瓣没有旁瓣，且主瓣窄到只有一根柱子呢?答案是否定的。主瓣窄和旁瓣少就像跷跷板的两端，压下一遍就会翘起另一边，是不可调和的。