开关转换器动态分析采用快速分析技术

如果采用网格节点(mesh-node)分析能很好地求解电路的传递函数，那么立即获得一个有意义的符号公式通常是不可能的，需要额外的工作才能得出。应用经典的分析技术来获得所谓的低熵表达式–即分数形式，从中您可识别增益、极点和零点–往往导致如Middlebrook博士曾在他的文献[ 1 ]、[ 2 ]中提到的代数失效(algebraic paralysis)。在此，快速分析电路技术(FACTs)可帮助您基于您在大学里学到的东西而扩展，以大大简化分析。通过使用FACTs，不仅加快您的执行速度，而且最终结果将以有序的多项式形式出现，通常无需进一步的因子分解工作[3]、[4]。

本文首先介绍后文用于确定开关转换器的控制到输出传递函数的FACTs。这个主题很大，在此我们只谈及表面，希望激励您进一步挖掘这个主题。我们选择了电压模式耦合电感单端初级电感转换器(SEPIC)工作于非连续导电模式(DCM)。PWM开关[5]将用于形成小信号模型。

快速分析技术(FACTs)简介

FACTs背后的基本原理在于电路时间常数的确定– t = RC或t = L/R –此时在两种不同的条件下观察所研究的电路：当激励信号降至0时和响应清零时。通过使用这种技术，您将体会到确定特定传递函数有多快和直观。基于这种方法的分析技术始于几十年前，如 [ 6 ]和[ 7 ]中记载的。

传递函数是一种数学关系，它把激励信号、激励物，和由这种激励产生的响应信号联系起来。如果我们考虑一个线性时不变(LTI)系统无延时，具有静态增益H0 –例如开关转换器的线性理想功率级-其连接控制信号Verr(激励)和输出Vout(响应)的传递函数H可表示为：

(1)

首项H0是系统在s = 0评估表现出的增益或衰减。该项将带传递函数的单位(或维度)，如果有的话。如果响应和激励都用伏特表示，在此我们表示为Verr和Vout，H是没有单位的。分子N(s)控制传递函数的零点。数学意义上，零点是函数幅值为零的根。通过FACTs，我们用数学抽象思维以轻松地揭开这些零点。我们不会像通常在谐波分析(s = jw)中所做的仅仅考虑在s平面的垂直轴，而是覆盖考虑到负数根的整个平面。因此，如果电路存在零点，将表现为当输入信号调到零角频率sz时无信号的输出响应。在这种情况下，在变形的电路中的一些阻抗阻挡了信号传播，响应为零，尽管存在激励源：当变形的电路在s = sz点被激励时，在信号路径的串联阻抗趋于无穷或分支将该激励分流到地面。请注意，这种方便的数学抽象通过观察提供了巨大的帮助来找到零点，通常无需写一行无源电路的代数。图1提供了简单的流程图，详细介绍了过程。关于这种方法的更多细节见[ 8 ]。

Bring the excitation signal – the stimulus – back in place：将该激励信号 – 激励-带回原处

Null the output：将输出清零

Identify in the transformed network, one or several impedances combinations that could block the stimulus propagation: a transformed open circuit or a transformed short circuit.：在变形的电路中找到一个或一些可阻挡激励传播的阻抗组合：一个变形的开路电路或变形的短路电路

Signal：信号

To response : 到响应

If inspection is not possible, go for a Null Double Injection(NDI)：若观察无用，则进行双重抵消注入(NDI)

图1：这个简单的流程图将指导您用最简单的方法确定零点。在观察无用时，您将需要进行双重抵消注入或NDI。

分母D(s)由电路自然时间常数构成。通过设置激励信号为0和确定从电路中临时移除的所考虑的电容或电感“所示”的阻抗，来得出这些时间常数。通过“观察”，您可想象把一个欧姆表置于暂时移除的储能元件(C或L)，并读取它显示的电阻。这其实是个相当简单的运用，正如图2中的第二个流程图所详述的。

Count energy-storing elements with independent state variables：计算具有独立状态变量的储能元件

Assume there are two energy-storing element, L1 and C2：假设有两个储能元件，L1和C2

The denominator follow the form：分母遵循此公式

Open the capacitor, short the inductor, determine the dc gain H0 if it exists：电容开路，电感短路，确定直流增益H0，若H0存在

Reduce the excitation to 0 and determine time constants for b1 and b2：减小激励至零，并确定b1和b2的时间常数

Determine the resistance Ri driving LI while C2 is open circuited：确定驱动L1而C2 开路时的阻抗Ri

Determine the resistance Rj driving C2 while LI is short circuited：确定驱动C2 而L1短路时的阻抗Rj

Sum the time constants：将时间常数相加

Determine the resistance Rk driving LI while C2 is short circuited：确定驱动L1而C2 短路时的阻抗Rk

Determine the resistance Rl driving C2 while LI is open circuited：确定驱动C2 而L1开路时的阻抗Rl

Choose the simplest combination：选择最简单的组合

图2：该流程图解释了用于确定电路时间常数的方法。

看到图3，是一个涉及注入源的一阶无源电路—该激励源—加偏压于左边网络。输入信号Vin通过网格和节点传播，形成您看到的电阻R3上的响应Vout。我们感兴趣的是导出连接Vout和Vin的传递函数G。[!--empirenews.page--]

The response：响应

图3：确定电路的时间常数需要将激励源设为0，并看看从电路中暂时移除的能量存储元件所提供的电阻。

为确定本例电路的时间常数，我们将激励源设为0(由短路代替0V电压源，开路代替0A电流源)，拆下电容器。然后，我们连接一个欧姆表来确定电容器端提供的电阻。图4指导您进行这些步骤。

The excitation is set to 0：激励源设为零

For example：例如

图4：由短路代替0V源后确定电容器端的电阻。

如果用图4的做法，您“看到” R1与R2并联后与R4串联，所有这些与R3并联后与rC串联。该电路的时间常数只通过R和C1即可计算得出：

（2）

我们可证明第一阶系统的极点是其时间常数的倒数。因此：

（3）

现在，s = 0时该电路的准静态增益是多少?在直流条件下，电感器短路，电容器开路。把这概念应用于图3的电路，绘制成如图5所示。想象在R 4前断开连接，会看到一个含R1和R2的电阻分压器。R2上的戴维宁(Thévenin)电压为：

（4）

输出电阻Rth是R1与R2并联的值。因此完整的传递函数涉及到电阻分压器(由与Rth串联的R4和加载的R3所构成)。rC是断开的，由于电容C1在这直流分析中被移除。因此：

（5）

图5：您断开直流电路中的电容器，计算这简单的电阻配置的传递函数。

基本就是这些了，我们正错过零点。我们在前文提到，零点通过阻断激励信号的传播而在电路中表现出来，产生一个无信号的输出响应(见图1)。若我们考虑一个变形的电路–其中C1由 代替–如图6，当激励源加偏压于电路，有什么特定的条件意味着无信号响应?无信号响应只意味流过R3的电流为0。这不是短路，而是相当于虚拟的接地。

图6：在这变形的电路中，当串联的rC和C1转化为变形的短路，响应消失，R3中无电流流过。

如果在R3中没有电流，那么串联的rC和 转化为短路：

（6）

根sz是我们想要的零点位置：

（7）

从而有：

（8）

现在我们可组合所有这些结果，形成以图3电路为特征的最终的传递函数：

（9）

这就是所谓的低熵表达式，从中您可立即识别静态增益G0、极点wp和零点wz。高熵表达式将在考虑阻抗分压器时通过施加大规模外力到原来的电路来获得，如：

（10）

您不只在推导表达式时可能会出错—而且将结果格式化到像(9)这样需要更多的精力。另外，请注意，在这特定的例子中，在写(9)时我们没有写一行代数。如果我们后来发现一个错误，那么很容易回到一个单独的图纸并单独修复它。(9)的校正很简单。现尝试对(10)进行相同的修正，您可能会从头开始。

FACTs应用于二阶系统

FACTs同样适用于n阶无源或有源电路。通过计算状态变量是独立的储能元件的数量来确定电路的阶数。若我们考虑一个具有有限的静态增益H0的二阶系统，其传递函数可表示如下：

（11）

当H0带传递函数的单位，那么N:D的比值是没有单位的。这意味着a1和b1的单位是时间[s]。当a1无信号响应，b1的激励源为零，您将确定的时间常数相加。对于二阶系数，a2或b2，维度是时间的平方[s²]，你将时间常数结合为一个产物。然而，在这时间常数产物中，您重用了已经确定为a1或b1的一个时间常数，而二阶时间常数的确定需要一个不同的符号：[!--empirenews.page--]

（12）

在这个定义中，您设置标号出现在“幂” 中的储能元件处于高频状态(电容被短路，电感被开路)，当我们暂时从电路中移除二阶元件端(参见下标)，您可从中确定电阻。当a2必须为无信号的输出和b2的激励源减为0时，您可运用此法。当然，当观察有用时，它总是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有点难以理解，但没有什么不可克服的，我们用几句话解释您就会明白。

图7是一个经典的二阶滤波器，用于确定在连续导通模式(CCM)中工作的电压模式降压转换器的输出阻抗。阻抗是连接一个激励信号Iout与响应信号Vout的一个传递函数。此处，Iout是我们已安装的测试生成器，而Vout是其两端产生的电压。要从(11)中确定各种系数，我们可按照图2的流程图，从s = 0开始：如图所示，电感短路，电容开路。该电路是简单的，电流源的电阻R0不过是rL和Rload简单的并列组合：

（13）

这个电路中有零点吗?我们看看图8所示的变形电路。我们看看当激励源电流Iout调为零角频率sz时，什么样的元件组合将使响应Vout为零。我们可发现两个变形的短路涉及rL–L1和rc–C2。

Voltage-mode：电压模式

Small-signal mode：小信号模式

图7：工作于CCM的降压转换器的输出阻抗的确定是一个很好的例子，演示了FACTs如何简化分析。

图8：如果阻抗Z1或Z2转换为短路，响应Vout为无信号输出。

立即确定这两个阻抗的根：

（14）

（15）

因此分母N(s)表示为

（16）

分母D(s)的一阶系数b1是由L1两端的阻抗提供，而C2处于直流状态(开路)：有t1。然后看驱动C2而L1设置为直流状态(短路)时的阻抗：得出t2。如图9所示，从该草图可立即得出b1的定义：

（17）

图9：在选定的组件终端中，当第二个组件处于直流状态时，您会得出阻抗为多少?

二阶系数b2是用(12)中引入的符号来确定的。L1设置在其高频状态(开路)，驱动C2以得到 的阻抗，C2处于高频状态(短路)，则驱动L1而得到 的阻抗。图10显示了两种可能的整理结果。您通常选择最简单的表达式，或避免不确定性的一个，如果有的话(如∞×0或∞/∞)。下面对于b2的两个定义是相同的，您看上面的是最简单的：

（18）

现在我们有所有的成分来组合最终的传递函数，定义为：

（19）

我们已经确定了这个传递函数，而没有写一行代数，只是拆分该电路为几个简单的草图个别解决。此外，正如预期的那样，(19)已经是一个规范的表达式，您可轻易的看到一个静态增益、两个零点和一个可用一个谐振分量w0和一个品质因数Q进一步整理的二阶分母。如果不是迅速考虑Z1、Z2 和Rload的并联组合，我们不可能得到这一结果。

图10：在选定的组件终端中，当第二个组件处于高频状态时，您会得出阻抗为多少?

采用FACTs，通过观察可导出传递函数，特别是对于无源电路。由于电路复杂，包括电压或电流控制源，观察起来没那么明显，您需要利用经典的网格和节点分析。但FACTs提供了几个优点：由于您将电路拆分为用于确定最终的多项式表达式系数的小的单个草图，因此如果在最终的表达式中发现一个错误，您总是可以回到一个特定的绘图并个别修正。此外，当您确定与传递函数的ai 和bi相关的项时，您自然会得到一个多项式表达式，而不用投入进一步的精力来收集和重新排列这些项。最后，如[4]所示，在复杂的无源和有源电路中，SPICE对验证个别极点和零点的计算有很大帮助。

工作于DCM的带耦合电感的SEPIC

SEPIC是一种流行的结构，常用于输出电压必须小于或大于输入的应用，不会像采用Buck-Boost转换器那样损失极性。SEPIC可采用耦合或非耦合电感工作在连续导通模式(CCM)或非连续导通模式(DCM)。[ 9 ]中谈讨了耦合电感的好处，这里不作讨论。我们的兴趣在于确定耦合电感的SEPIC 在工作于DCM时的输出到控制的传递函数。图11代表[ 10 ]中所述的自动切换电压控制模式的PWM开关和采用一个SEPIC配置的连接。特意减少载荷以强制实施DCM。在启动序列完成后施加一个临时步骤。在类似的工作条件下捕获并仿真一个逐周期电路。[!--empirenews.page--]

Cycle-by-cycle simulation：逐周期仿真

Average model：平均模型

图11：第一个SEPIC采用平均模型，而右边第二个实施逐周期法。

运行一个仿真来比较两个电路的输出响应。如图12所示，两个电路的响应非常相近。曲线的左边描述了启动序列，右边部分显示了两个模型对负载阶跃的响应。在这一阶段具有相同的响应第一次表明平均大信号模型正确地仿真SEPIC内部，我们可进行小信号版本。

DCM PWM开关的大信号模型由(10)中推导出的小信号版本所代替，与[ 5 ]中描述的不同。两个模型得出了相同的分析，但Vorpérian博士在[ 5 ]中考虑的是一个常见的配置(C端是接地的)，而我为了建立一个自动切换的DCM-CCM模型，保留了原普通无源配置。采用DCM PWM开关的小信号模型更新的电路图如图13所示。右边的参数列表计算分析所需的所有系数k。

图12：平均模型与逐周期模型的瞬态响应完全符合。

Parameters：参数

图13：这是工作在DCM模式的SEPIC的小信号模型。节点d1是占空比偏差和注入点。所有小信号系数都自动出现在参数窗口。

确定准静态增益

为了确定准静态增益，您需要照图2使所有电感短路，所有电容开路。这正是SPICE在计算工作偏置点时所做的工作。然后重新排列所有的源和组件以简化电路，使其更易于分析。当您做这工作时，我建议您始终运行一个全面的检查，确定新电路的动态响应与图13完美匹配。任何偏差都表明您出了错，或者简化中的假设过于乐观：重复该做法直到幅值和相位完美匹配为止。组合出图14的电路。

图14：这是用来确定准静态增益H0的最终的直流电路。

几行代数将使我们得到输出电压表达式：

将(20)中的Ic代入(21)并求解Vout。您应该得出

该小信号准静态增益简单地表示为

时间常数的确定

我们将采用FACTs并单独确定电路的时间常数，而不是用图13的完整原理立刻求解整个传递函数。这种方法提供了一个优势，以处理您通过对单个草图的SPICE仿真获得的结果。这大大有助于逐步前进和跟踪错误，而不至于在大量的工作时间后才发现最终的结果是错误的!

为了确定时间常数，将激励源减为0(请检查图2)。在此，由于我们想要控制到输出的传递函数，激励源是d1。将其减为0有助于简化电路，如图15所示。

图15：将激励源减为0有助于简化电路。在此我们从驱动电感L1的阻抗开始。

我们可以用几个公式来描述这个电路，我们知道IC = IT：

您将(26)代入(27)然后解出V(c)。替代(26)中的V(c)解得V(a)。然后可写

（28）

如果您重新排列和由图13的定义替换系数k，得出时间常数t1的定义：

（29）

二阶时间次常数指的是从C2端看到的阻抗，而L1是短路的。新的电路如图16所示。由于L1短路， a和c端在一起，简化更新的电路为右边的图片。

图16：使电感短路真正简化电路。

再一次，几个简单的方程会很快地让您得出结果：

将(30)代入(31)，然后解得VT并重新整理。您应该发现：

如果您知道试图确定涉及C3的三阶时间常数，变压器配置(完美耦合)使其两端电压等于0 V：在动态传递函数中电容器不起作用。因此第一个系数b1定义为

二阶系数

对于二阶系数，我们将设置电容C2处于其高频状态(以短路代替它)，同时我们将确定驱动电感L1的阻抗。图17说明了这种方法。因为输出因C2短路，节点a和c都处于相同的0V电势。电路简化为右侧示意图。

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图17：二阶系数设置储能元件之一处于其高频状态(C2)，同时您可确定电感两端的电阻。

我们可写出描述VT电压的第一个方程。观察到a) IT和IC是相同的，b) VT = –V(c)，我们有

因式分解VT/IT，L1两端的阻抗为

二阶时间常数 定义为

如果我们认为Vout = MVin，b2系数表示为

合并我们确定的时间常数，得出分母D(s)

如果我们考虑一个低Q值的近似值，这二阶分母可以近似由两级联极点定义为

和合并为

零点的确定

如上文所述，当激励源调至零角频率sz,，变形电路的响应为无信号输出(见图1)。该运用现将包括将激励源复原和确定无信号输出的变形电路的条件。图18所示为我们需要研究的更新电路。无信号输出的有趣之处在于其传播至其它节点。例如，如果Vout = 0 V，然后由于变压器高边连接，节点a也处于0 V，所有涉及该节点的表达式可以简化为如图所示。如果输出无信号，则电流I1也为零，这意味着Ic = I3。

图18：在s = sz的特定条件下，观察变形的电路，无信号响应。

节点c的电压定义为

因此，电流Ic等于节点c的电压除以L1的阻抗。

而电流 I3等于

现将(43)代入(44)，然后视Ic = I3：

求解s，将系数k的值换为它们在图13中的值，重新整理，您会发现

这是个正的根源，因此为右半平面零点。通过收集所有的部分，发现极点和零点实际上是一个DCM buck-boost转换器的极点和零点而得出完整的传递函数：

及

和

最后的检查，我们可比较Mathcad®和图11大信号模型的SPICE仿真的动态响应。如图19所示，曲线完美重合。

图19：Mathcad®和SPICE提供完全相同的响应(曲线完美叠加)。

另一个验证是由采用不同的平均模型(架构如[11])仿真相同的SEPIC结构构建。这也是一个自动切换的CCM-DCM模型，但走线方式稍有不同。图20所示为两种平均模型采用一个类似的SEPIC架构。

图20：CoPEC平均模型包括单独的开关和二极管连接。

图21证实了两个交流响应在相位和幅值上完全相同。

图21：DCM PWM开关和CoPEC DCM模型提供相同的动态响应。

总结

快速分析技术为推导线性电路传递函数提供了一种快速而高效的方法。在无源电路中，观察是可能的，而且是经常的，无需写一行代数就能得到传递函数。随着电路变得复杂和包括激励源，您不得不采用经典的KCL和KVL分析。但当您确定分子和分母中个别的多项式因子时，很容易跟踪错误和只关注错误项，如果有的话。在复杂的电路中，小草图和SPICE的帮助是极有用的。最后，最终结果以一种有意义的格式表示，并可直接识别出极点和零点位于何处。这是非常重要的，因为您必须知道问题隐藏在传递函数的何处。作为一个设计人员，您必须平衡它们，这样自然的产生传播或组件的变化不会危及您的系统在运行中的稳定性。[!--empirenews.page--]

参考文献

1 R. D. Middlebrook, Methods of Design-Oriented Analysis: Low-Entropy Expressions, Frontiers in Education Conference, Twenty-First Annual conference, Santa-Barbara, 1992.

2 R. D. Middlebrook, Null Double Injection and the Extra Element Theorem, IEEE Transactions on Education, Vol. 32, NO. 3, August 1989.

3 V. Vorpérian, Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits, Cambridge University Press, 2002.

4 C. Basso, Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques, Wiley, 2016.

5 V. Vorpérian, Simplified Analysis of PWM Converters Using the Model of the PWM Switch, Parts I and II , Transactions on Aerospace and Electronics Systems, vol. 26, no. 3, May 1990.

6 D. Feucht, Design-Oriented Circuit Dynamics, http://www.edn.com/electronics-blogs/outside-the-box-/4404226/Design-oriented-circuit-dynamics

7 D. Peter, We Can do Better: A Proven, Intuitive, Efficient and Practical Design-Oriented Circuit Analysis Paradigm is Available, so why aren’t we using it to teach our Students?, http://www.icee.usm.edu/ICEE/conferences/asee2007/papers/1362_WE_CAN_DO_BETTER__A_PROVEN__INTUITIVE__E.pdf

8 C. Basso, Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

9 J. Betten, Benefits of a coupled-inductor SEPIC, slyt411, application note, Texas-Instruments.

10 C. Basso, Switch-Mode Power Supplies: SPICE Simulation and Practical Designs, McGraw-Hill, 2nd edition, 2014.

11 D. Maksimovic, R. Erickson, Advances in Averaged Switch Modeling and Simulation, Power Electronic Specialist Conference Professional Seminar, Charleston, 1999