基于H∞混合灵敏度的导弹解耦控制器设计方法

1 引言
    导弹在大攻角飞行过程中，通道间存在严重的气动耦合。工程设计上，通常把较小的耦合项作为随机干扰来处理，但当耦合影响较大时，容易使控制系统丧失稳定性，因此必须考虑通道间的耦合效应，并对其解耦。近年来，随着控制理论的发展，多种解耦控制方法应运而生，如特征结构配置解耦、自校正解耦、线性二次型解耦、奇异摄动解耦、自适应解耦、智能解耦、H∞解耦，变结构解耦等，其中文献[4]采用多变量频域法，将耦合的MIMO系统化为一系列的SISO系统，再用经典频域法分别设计，实现了BTT导弹自动驾驶仪的解耦，文献[5]采用输出反馈特征结构配置方法，合理配置了闭环系统的特征值、特征向量，求取输出反馈与前馈控制器，实现导弹三通道的解耦，文献[6]利用变结构控制和鲁棒控制，实现系统的动态解耦。
    根据导弹在大攻角飞行过程中，导弹受到的参数不确定性和外界干扰等都非常大，采用一般的解耦方法很难保证控制系统的实时性要求，由于H∞混合灵敏度自身优点，这里提出了基于H∞混合灵敏度解耦控制器的设计方法。H∞混合灵敏度解耦控制器是将理想的无耦合的闭环系统参与到混合灵敏度设计中去，从而达到解耦的目的。在H∞混合灵敏度控制器设计中，需要进行权函数的选取，使其达到解耦目的。该解耦控制方法的优点在于：由于H∞混合灵敏度控制器本身的优点，使得该解耦控制器具有较强的鲁棒稳定性和抗干扰能力。

2 大攻角再入导弹简化数学模型
    导弹的动力学特性由一组非线性、变系数的方程组描述。由于存在弹性振动、液体晃动和发动机摇摆等因素的影响，该方程组非常复杂。为了对导弹运动方程的各种分析、计算和导弹控制系统设计提供方便，本文采用小扰动简化措施。考虑导弹刚体运动和弹性振动，假设偏航、滚动通道标准弹道参数为零，即得到以下基于小扰动假设的弹体运动方程。小扰动弹体运动由刚性弹体姿态运动方程和弹性振动方程组成。式(1)～式(3)为简化的数学模型。
    (1)俯仰一法向通道刚体运动方程：
   
    式中，αWP，αWQ分别为由于平稳风、切变风作用形成的附加迎角；My，Mx为结构干扰力矩；δ为弹道航向角；β为弹道侧滑角；ψ为弹道偏航角；δψ为实际弹道偏航舵偏角；Fx为结构干扰力。
    (2)偏航一横向通道刚体运动方程：
   
    式中，βWP和βWQ分别为导弹由于平稳风、切变风作用形成的附加侧滑角；qiψ为偏航-横向通道第i个振型(不包括刚体振型)所对应的广义坐标。
    (3)滚动通道弹体运动方程：
   
    式中，γ为弹道滚动角；δr为弹道滚动舵偏角。

3 耦合弹体的数学模型
    由上述3个通道的简化模型可知，偏航通道的弹体运动方程中含有滚动通道的参量(δ，γ)，滚动通道的弹体运动方程中含有偏航通道的参量(δ,ψ,β)。将相互耦合的俯仰一法向通道(1)，偏航通道(2)与滚动通道(3)联立，组成两输入、两输出的多变量系统，取状态向量为[β ψ ψ γ γ]T，控制输入为u=[δψc δγc]T，测量输出为r=[ψc γc]T，得到弹体运动方程的状态空间表示为：

    △A,△B为高频弹性振动等引起的参数不确定性部分，2，3,4)为系数。

    
    由式(5)可知，S(s)+T(s)=I，I为单位阵。选择适当的加权函数，对S(s)和T(s)进行频域整形，即在低频段以减小灵敏度函数的增益为主，而在高频段以减小互补灵敏度函数增益为主，使系统频域整形后满足：

    
    式中，Ws(s)为反映系统抗干扰的性能加权，WT(s)为反映系统鲁棒性加权。
4．2 解耦控制器设计问题
    由式(5)可知，T(s)为图1所示系统的闭环传递函数。为此可以将T(s)成形为理想的对角矩阵来达到解耦的目的。文献[4]给出将H∞混合灵敏度成形为标准的H∞问题，本文是在此基础上加以推导，并选择适当加权函数，达到解耦的目的。图2为H∞混合灵敏度框图。图2中，z1，z2为性能评价输出。uS，uT分别为Ws(s)和WT(s)的输入，yG为G(s)的输出。

    则G0(s)，WS(s)，WT(s)的状态空间实现分别为：

    
    由图2可知，系统P(s)的输入为d,u，输出为z1，z2，y。设x0，xS，xT为G(s)，WT(s)，WS(s)的输出状态。由图2可以推导：yG=C0x0+D0uyuT=yg，us=d-yG，则：
   
    设x=[x0 xS xT]T，z=[z1 z2]T,定义虚拟输出信号zp=F1x+F2dF3u，虚拟输入信号dp=zp，并考虑式(7)，得到广义对象P(s)扩展后的状态空间的实现为：
    
    式(8)中参数不确定性△A，△B1和△B2应满足下面关系：
    
    这样，不确定系统的鲁棒控制器设计问题转化为H∞标准设计问题。
    从H∞标准设计问题可看出，这里涉及加权函数WS(s)，WT(s)的选择，考虑到系统的解耦不变性，WS(s)，WT(s)应为对角阵，形式如下：
   

式中，WSj(s),WTj(s)(j=1,…,m)分别为

   
4．3　加权函数的选择原则
    对和S(s)和T(s)进行频域整形。在低频段以减小灵敏度函数的增益为主，而在高频段以减小互补灵敏度函数的增益为主。在低频段使得S(jω)位于增益曲线VS(jω)以下，而在高频段使得T(jω)位于VT(jω)以下。

5 仿真实例
    以某飞行器为例，在某一飞行条件下，两通道的跟踪模型为其中：
    
    根据式(5)，式(6)灵敏度函数S，补灵敏度函数T满足的条件及其式(10)和加权函数的选择原则，可求得灵敏度函数及补灵敏度的加权函数Ws(s)，WT(s)：
    
    通过对其进行仿真，进行频域整形，混合灵敏度成形如图3所示。由图3a和图3b可知，通过适当选择加权函数，对S和T进行频域整形，灵敏度和补灵敏度奇异值曲线全频率段内S和T的奇异值均小于其加权函数阵逆的奇异值，满足奇异值要求，同时也满足式(6)要求，能够使系统具有良好的鲁棒性及抗干扰能力，满足系统的解耦条件，达到解耦目的。

6 结论
    针对导弹大攻角再人过程中偏航通道和滚动通道存在较大耦合的情况，采用H∞混合灵敏度解耦控制的方法进行解耦，并对基于混合灵敏度解耦控制器的加权函数进行选择，使加权函数能够更好的兼顾到互补灵敏度成形和系统解耦性，从而克服系统设计中的保守性。仿真结果表明。该解耦方法可以使系统具有良好的解耦性和鲁棒稳定性。