基于T-S模型的旋转式起重机稳钩保性能控制

摘要：基于T-S模型的保性能控制对控制带有不确定性系统(如旋转式起重机稳钩系统)有很好的鲁棒性，把系统可稳和保性能控制转化为解一系列矩阵不等式(LMI)的问题，得出最优的反馈矩阵，设计出基于T-S模型的最优保性能控制器，并对这种方法进行了仿真。结果表明，这种方法简单可行，并且具有很好的鲁棒性。
关键词：旋转式起重机稳钩；T-S模型；保性能控制；鲁棒性

0 引言
    近年来，随着货物运输方式的飞速发展，旋转式起重机稳钩技术越来越得到人们的重视，它直接决定了的装卸速度。Y．Kijima等人利用模糊控制与遗传算法相结合来优化模糊控制规则的系数；刘殿同等用遗传算法优化模糊控制器参数的方法和滑模变结构方法来对旋转式起重机稳钩进行控制；Amel Ouezri等人采用了神经网络来优化模型控制器隶属度和规则的方法，上述三种方法计算复杂，且都把旋转式起重机作为确定系统来研究，鲁棒性不强，Dal-Young Ha使用TSK模糊控制器简化了系统的输入输出表达，KunihitoMatsuki利用H∞控制理论来对误差与参数变化进行控制，这两种方法有一定的鲁棒性。但这些方法都把旋转式起重机作为一个确定的系统来研究，并且有各自的缺点。
    旋转式起重机很复杂，由于货物的不确定性和绳长的挠性等特点，以及在控制系统的运行过程中还会出现风载荷的变化、元件老化等问题，所以旋转式起重机的模型是一个不确定非线性二阶系统，因此需要由基于T-S模型的保性能控制这样鲁棒性很强的方法来进行控制。
    这种方法不但能使系统稳定，还可以使系统保住一些性能，使得在外界变化和内部结构发生变化时系统的参数变化不至于过快。

1 问题的描述
    所要研究的对象为起升的起吊系统，在系统局部信息或专家经验存在的条件下，像旋转式起重机这样的不确定非线性连续系统可以采用具有不确定参数的T-S模糊模型：
   
    式中：x(t)∈RN和u(t)∈Rm分别是系统的状态和控制向量；Ai和Bi是已知常数矩阵；D，Eai和Ebi是反映不确定性结构的常数矩阵，△(t)∈Rlxj满足：
  
    式中：W和R为正定的加权矩阵。
    假定系统的状态是可以直接测量得到的，则研究的问题是对系统和性能指标设计一个PDC结构的模糊控制器。令Ωi表示第i个子系统对应的控制器，即：
   
    式中：Fi为状态反馈增益矩阵。整个系统的控制器向量为：
   
    这里的主要任务是设计合适的状态反馈增益矩阵Fi，使得对所有允许的不确定性闭环系统：
   
    是渐近稳定的，且相应的闭环性能指标满足J≤J’，其中，J’是某个确定的常数，称具有这样性质的控制律是不确定系统和性能指标的一个保性能模糊控制律。

2 旋转式起重机的T-S模糊模型
    模糊控制器的结构中最重要的是模糊推理，而模糊推理的前提和依据就是T-S模糊控制模型，所以有必要对T-S模糊控制模型进行求取。
    根据旋转式起重机的数学模型：
   
    式中：l为绳长；m为货物与吊具的重量；F(t)为施加在变幅时的力；θ为货物偏摆的角度；为货物偏摆角的变化；为货物偏摆角的加速度；为变幅时的加速度。取状态向量为：
   
    则有如下的状态方程：
   
    这是一个非线性状态方程，非线性系统的分析和控制仍然是很困难的，尚缺乏统一有效的方法。为此，基于多模型处理的思想，采用基于T-S模型的模糊控制方法来设计控制器，由于T-S模型的后件是线性的，线性系统中很多成熟的理论可以加以利用，而且与其他模糊推理相比，其计算效率(线性函数和常值函数易于计算)、推理速度快。为了运用线性系统理论和模糊控制中的T-S模型进行控制器的分析和设计，可以考虑将其先进行局部线性化，使之成为若干子系统，再将这若干子系统进行模糊综合。该模糊建模方法的本质在于将一个整体非线性的动力学模型用多个局部线性模型进行模糊逼近。
    各参数选择：l=1 m，g=9．8 m／s2，m=5 kg，通过Matlab提供的函数linmod将原旋转式起重机小车精确模型在0°和±45°三个工作点处线性化，得到线性化状态空间模型。
    在0°处的状态空间模型为，其中：
   
    在±45°处的状态空间模型为，其中：
   
    从而得到了旋转式起重机的T-s模糊控制模型：
   
   
    系统的输出为各个子系统输出的加权平均，即：
   

3 基于T-S模型的最优保性能控制
    定理1 对于所描述的系统，若存在矩阵X，Mi，和Y0，以及标量εi>0和εij>0(i>j)，且X是对称正定矩阵，Y0是对称半正定矩阵，满足：
   
    在定理1的基础上，进一步设计一个模糊控制器，使其性能指标上界xT(0)Px(0)最小化。最优保性能模糊控制律可以通过求解以下的优化问题得到：
   
    问题是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，可以应用LMI工具箱中的线性矩阵不等式求解器mincx来求解问题。

4 旋转式起重机稳钩的保性能控制器的设计及仿真
4．1 保性能控制器设计
    考虑到旋转式起重机系统的不确定因素主要为绳子的长度l和货物的重量m。另外，当l和m变化时，在0°处线性化模型参数变化范围更大。选择：
   
    式中：I4表示4阶的单位矩阵。
    对于旋转式起重机系统，主要目标是尽量减小其摆动的角度和位移偏差，因而选取加权阵为：
   
    当初始状态x(0)=[0．2，0，0，0]T时，利用LMI求解的优化问题可得性能指标的上界J’=6．334 32和保证这一性能的PDC结构的模糊控制器的状态反馈增益矩阵：
   
4．2 仿真
    采用给出的保性能控制律，分别针对货物的质量波动和绳长的尺寸偏差这两种不确定情况以及外界干扰，对旋转式起重机进行了仿真。系统初始值如前所述。
    从图1～图4可以看出，货物在7 s之内结束摇摆状态，角度变为零。可见，这种方法比文献中相同条件下最少8 s的稳钩时间还要短，很快抑制了摇摆，而且旋转式起重机在货物质量波动为±25％，绳长在±25％时，响应曲线几乎是重合的，摆动角度很快达到了零，所以这种控制器不但具有很好的稳钩效果，而且具有很强的鲁棒性。

    图1和图2中，虚线、实线、划线分别表示正常、80％、120％货物载荷的状态响应。图3和图4中虚线、实线、划线表示正常、80％、120％绳长的状态响应。
    为了验证其鲁棒性，可以在30 s时加一个干扰，得到的结果如图5和图6所示，在解除干扰后3 s内回复原位，并且有很少的超调量，位置和角度只经过一个非常短时的变化且变化平缓。仿真结果表明，这种控制器对外界的干扰有很强的抗干扰性能。

5 结语
    基于T-S模型的保性能控制有很强的鲁棒性，分析了基于T-S模型的保性能控制的设计方法，把它转化为解一系列矩阵不等式(LMI)的问题，得出最优的反馈矩阵。把这种控制方法应用在旋转式起重机的系统上，分别对质量波动和绳长波动以及外界干扰做了仿真。仿真结果表明，这种方法能使系统具有很好的稳定性，同时还能保住系统的一些固有性能。