滤波器功率与灵敏度的关系

在滤波器魔法师之12(使用“Million Monkeys”提供的方法设计滤波器)中，我给自己安排了一项额外的工作，即在我匆匆完成那篇行文迅速、引人入胜的文章时，我曾允诺对各种滤波器设计和网络理论问题进行深入探讨。本文就是这些“深潜”系列(不好意思，我们公司的行话)的开篇之作：我为何把源电阻和负载电阻设置为相同的值?

　　本文使用的滤波器拓扑结构为双端接LC梯式滤波器。由电感器和电容器构成的网络有两个“端口”，供信号进入和离开网络。在我们的滤波器中，输入端口从具有特定电阻值的信源处获得信号(一般无法变更)，输出端口则连接到由另一个电阻构成的“负载”(通常可以加以控制)。

　　图1显示的是示例滤波器。它与前文所述的网络一致，输出端采用与信源电阻值一样的电阻端接。图2显示的是非常良好且平坦的通带响应。图3显示的是去掉端接电阻后的较差响应。

　　图1: 双端接低通滤波器示例

　　图2：图1器件在具有负载电阻值情况下的电压增益

　　图3：图1器件在无负载电阻值情况下的电压增益

　　我们可以看到，对于本文所用的特定元器件值，低涟波平坦响应只有在我们加入负载电阻的情况下才会出现。但这并非是具有两个电阻的结果。图4是在无负载电阻情况下产生同等振幅响应(图5)的网络值集合。其电压增益为0dB，而非6dB。你是否真的愿意在大多数实际情况中使用该滤波器?答案不言而喻，因为响应相同，而增益更大，且可以节省一个元件，谁不喜欢呢?

　　图4：无负载电阻情况下的各元器件值组合

　　图5：没有负载电阻，响应依旧非常出色且平坦
图6和图7说明了我们抗拒采用“单端接”诱惑的原因。两图是元件值在±5%允许范围内变化时，100个响应曲线叠加在一起的状况。我们可以清晰直观地看出双端接滤波器更能够适应所使用组件值的小幅度变化。我们在下文中还可以看到当我们使用某些扩展技巧，在不使用这些电感器的情况下以这些网络为“原型”构建有源滤波器时，这种特性仍然得以保留。

　　图6：对图1值的蒙特卡罗分析

　　图7：对图4值的蒙特卡罗分析

　　双端接滤波器有什么特别之处呢?要回答这个问题，我们需要考虑在信号从源电阻到负载电阻通过LC网络时，发生了什么?

　　稍微岔开一下话题。想象一下你正在面试一个模拟设计岗位，并要求回答下面的问题：

　　“你有一个50欧姆输出阻抗的正弦波发生器，输出开路的情况下可以输出1Vrms的电压。客户给你一个黑盒子，输入阻抗为3.3K欧姆，且如果该黑盒子要正常工作，需要至少3Vrms的50KHz输入信号。你需要让系统工作，但没有电源。你在实验室唯一能够使用的电子组件是无源两引线组件。请说明如何解决上述问题及其工作原理。”(案例1)

　　那么这就意味着没有电池或太阳能电池，也没有晶体管或集成电路，而且肯定也没有变压器。在继续读下去之前(特别是你准备参加面试的情况下)好好想想。也许我们可以从图2找到一些灵感。完成了吗?这里有个适用的解决方案：

　　图8：适合案例1的解决方案

　　图9：图8解决方案的频率响应
我们只使用无源两线组件构建一个高Q值低通滤波器。图9显示的是信号发生器设置为开路输出1Vrms到黑盒子电压的全频段状况。我们明确无误地实现了让系统在规定频率上工作的电压增益。那么，什么地方有免费的午餐呢?

　　当然什么地方都不会有。我们可以问个额外的问题：“我们能够从这类解决方案得到的最大电压增益值是多少?”要得到结果，首先要认识到，虽然从这样的元器件组合中得到电压增益是常见的，但不可能得到功率增益。这就是理解这些无源滤波器网络的关键所在：功率进入网络，然后离开网络。如果信源能在特定输出电阻上提供特定的输出电压，对于连接的负载而言，能够耗散的功率有严格的上限。你可能在学校中学习过最大功率定理，但没有投入太多注意。但对无源滤波器而言，这个定理非常重要，所以今后应该予以关注。

　　可能你已经记起来了，实现最大功率传输的条件是负载电阻和信源电阻相等。你可以使用大学里学到的枯燥无味的微积分来证明。先用一个表达式表达负载电阻上耗散的功率，根据负载电阻RL计算该功率的导数。将导数设为0，然后求解RL。继续，就是这么计算的。

　　是不是一下子豁然开朗了?你首先想到的是用变压器。这是让负载电阻与信源电阻匹配的传统方法。在理想的情况下，变压器可以把功率从信源无损地传输到负载，不过它一般用于电压、电流不同的情况下。使用适当的匝比，不论负载电阻值是多少，都可以在理想的情况下在负载电阻上获得相同的耗散功率。

　　这就是我们对图8的LC滤波器网络采用的措施：我们引入了一个变压器。所有进入LC网络的功率又出去了。在采用适当的组件值的情况下，我们可以让所有功率在特定的频率上全部到达负载上，而不用管负载的值是多少。

　　如果我们可以使用变压器或者变压器的等效LC线路，我们可以计算出50欧姆信源和3.3K欧姆负载之间能够获得的最大电压增益。需要的电压变换等于阻抗比的平方根，在本例中为8.12倍。将该比例与我们在等电阻端接例子中的电压增益0.5相乘。所以在任意LC值下可以得到的最大增益为4.06倍，或者大约12.2dB。图10显示的是用我们自制的变压器任意选择1,000种不同的L和C值得到的结果。响应曲线的峰值从未超过预计值。至于为什么不是每个频率下所有功率都耗散在负载上，是因为部分功率被反射回了信源。

　　图10：响应曲线的峰值从未超过预计值

　　所有射频工程师都开始不耐烦地打哈欠了，因为这是你们的常识。设计LC网络，确保让所有信源的功率传输到负载，是一项称之为阻抗匹配的核心射频技术。这确实像两个不等电阻之间的滤波器设计(每种设计方案都有其伴随的虚部需要加以考虑)。一般是用L和C来完成的，而非体积庞大、成本高昂的变压器。除微波频段外，其中的变压器体积不大、价格也不高，不过当导体靠得太近的时候，会造成谐振波峰。

　　现在回到我们最初讨论的问题。为什么一个(设计合理的)双端接滤波器有如此出色的“灵敏度”属性?这是因为对滤波器通带内的一个或者有时多个频率，它工作在功率传输的最大可能点上。请再次观察图6和图7。在双端接滤波器情况下，组件值的任何变化只会让功率传输(随之为电压增益)下降而非上升。在被称之为反射零点的特定关键频率上，滤波器响应的“灵敏度”与网络中每个无功部分呈抛物线函数的下行段关系。这样就很难让网络的响应比没有应用功率传输约束的时候更差。后者状况指的是单端接的时候，或者任何滤波器的设计响应未能满足最大功率增益值的时候。要得到最大功率增益值，可以抛开滤波器，使用变压比较为合适的理想变压器。

　　还有一个问题。我们在开始的时候曾经比较过两种滤波器，其中一种滤波器的负载电阻与信源电阻相等，另一个则没有负载电阻。我们能否在尽可能大的给定信源电阻和负载电阻比率下成功设计出低灵敏度、等频率响应的滤波器?有时候是可以的，但具体到我们的低通滤波器则不能。对于具体的响应，我们要求平坦的响应，让DC增益与那些“触点”最大值相等。这就意味着在该极低灵敏度滤波器中，信源电阻和负载电阻必须等值。对于更加普遍的情况，如果不需要对通过的0频率或者无穷频率施加特定的衰减，通常可以设计出任意两个阻抗间的最低灵敏度(即理想匹配)滤波器。至于如何实现，足够写上几本书，不过初学者就不用看了。