基于压电主动杆的空间桁架自抗扰控制器设计

摘要：针对一种复杂的、较难建立精确模型的空间桁架，研究了其建模、主动杆位置优化及振动控制的问题。文中首先建立了空间桁架的机理模型。然后设计了压电主动杆，选取一种不依赖于控制律的基于能量的优化准则，并基于所建立的模型对其在空间桁架中的安装位置进行了优化。最后对于空间桁架这种并联结构，设计了一种不依赖于被控对象精确模型的自抗扰控制器。仿真算例表明本文所设计方法的有效性。

1 引言

随着对太空探索的不断深入以及我国空间光学技术的迅速发展，人们对于太空中航天器的工作精度和稳定运行等方面的研究也越来越深入，特别是航天器中的挠性桁架结构。当有外界扰动作用在桁架上时，由于桁架结构自身所具有的结构特性和太空中低阻尼环境等因素的原因，桁架结构易产生非期望的振动，从而影响航天器的正常工作。因此对于航天器内桁架结构的振动控制方面进行研究具有重大现实意义。

目前，在桁架结构的控制问题中，大多是将主动构件内嵌于桁架结构中，从而构成智能结构，并以主动构件为核心原件，对智能结构进行控制。在主动构件的选择中，由于压电材料所具有的质量轻、响应快、低功耗等特点，因此被广泛应用于空间桁架的振动控制之中。本文以压电材料为基础，设计了压电主动杆。针对压电主动构件的位置优化问题，目前已有基于能控/能观性的优化准则、基于系统能量的优化准则等、考虑到太空中能量较为珍贵，本文选择了一种以最小驱动电压产生最大驱动力的优化准则。

目前对于桁架结构的主动振动控制已有多种方法，如正位置反馈控制、模态控制法、最优控制、模糊控制等方法。但由于桁架结构具有较大的复杂性，获得其精确的数学模型是较为困难的。因此本文选择了一种不依赖于被控对象精确模型的自抗扰控制器，通过对本文中所建立的桁架模型进行仿真实验，验证了自抗扰控制器的有效性。

2 空间桁架结构建模

所需控制的空间桁架节点编号如图1所示：

所设计的结构主要由梁单元组成，共有63根柔性梁，26个节点，其中底面的2、3、7、8节点为固定在地面的约束节点，激振力施加于底面的10号节点竖直方向。基于有限元的方法，可以获得该结构的动力学方程为：

通过求解式(3)所得出的，代回模态变换从而得出各节点位移。

3 压电主动杆设计及位置优化

由于压电材料具有正、逆压电效应，是以其既可作为作动器，也可作为传感器，并且具有质量轻、响应快、低功耗和易装配等特点，因此其广泛的应用于桁架结构的振动控制中。

3.1 压电主动杆的设计

由于压电片的压电应变系数d33一般很小，因此单个压电片所能输出的位移非常小。而对于在实际工程应用中的主动控制构件来说，即需要具有能够满足需求的输出位移量，同时也要求其能承担住一定的压力。而如果只通过一片压电片，在输入电压受到限制的情况下，一般无法达到实际的需求。因此通过设计多个压电片以力学上串联、电学上并联的方法堆叠在一起构成压电堆，则可以克服较低电压驱动下单个压电片位移过小的缺点，通过多个压电片变形量的线性叠加，则可以使用较低的电压，获得较大的输出位移，从而增加了输出的位移量，满足了实际的需求。

压电堆的输出位移为：

其中，δi为单个压电片的输出位移，n为压电片的个数，l为厚度，是恒定电场下的弹性柔顺系数，d33为压电应变系数，Ks称为压电堆的等效刚度，ds称为压电堆等效压电应变常数，F为轴向所受的力，V为轴向所施加的电压，A为截面积。

采用180片压电片叠加构成压电堆，然后基于压电堆，设计了压电主动杆，其结构图如图2所示。

压电主动杆的输出位移和输出力是进行压电主动杆设计时所需考虑的重点内容。本文所设计的压电主动杆主要由压电堆、直线轴承、钢珠和外部包装的钢壳等几部件构成。

压电堆内部放置了碟片弹簧进行预压，使压电堆始终工作在受压状态并保证其内部压电片之间紧密相连。但是为了保证压主动杆内部各部件之间不存在间隙，还需要在主动杆内部设计一个弹簧，以保证主动杆内部各零件之间紧密接触。同时，在压电堆的一侧使用钢珠作为传力装置以保证压电堆只会受到外部轴向载荷的作用，从而避免其可能出现承受弯曲载荷的情况。同时，为了减小输出杆在运动时所产生的摩擦，使用直线轴承内套输出杆，以保证输出杆靠近钢珠端不会与主动杆外壳接触，并且在直线轴承内要保证足够的光滑，以最大限度的减小轴向摩擦力。

3.2 主动杆的优化准则

由于在太空中，能源是比较珍贵的资源。所以对于刚架的控制希望是主动杆的振动控制能尽可能的节省电能。因此，总是希望主动杆的安装位置能够保证其在使用尽可能小的驱动电压的情况下输出最大的控制力。

在式(2)中，令：

A=φTBKv (5)

由上式可以看出，矩阵4是由模态矩阵φT、主动杆的安装位置矩阵B和主动杆的性能矩阵Kv所组成。因此，矩阵A不仅与系统自身的模态相关，而且很大程度上会受到主动杆的安装位置和其致动特性的影响，所以称A为主动杆位置配置矩阵。令：

由上式可以看出，若λ的值越大，则表明模态控制力和控制电压的比值也就越大，即表示使用的控制电压较小时，可以产生的模态控制力较大，此时系统的作动效率较高。所以当保证ATA的所有特征值都很大并且分布较为集中时，可以获得较大的作动效率。如此则可以得出作动器的优化准则为：

在上述的优化准则中，前半部分是ATA所有特征值的算术平均值，后半部分是所有特征值的几何平均值，求这两项乘积的最大值就能得出一个特征值较大且分布集中的A。

3.3 遗传算法优化结果

使用遗传算法对前面所得优化准则进行主动杆的位置优化，选取腓为遗传算法的适应度函数。选择使用三个主动杆。优化流程图如图3所示。

根据流程所示的过程，得出了在刚架中配置3个主动杆时的最优安装位置如表1所示。图4为遗传算法优化过程中最优适应值的迭代过程图。

4 自抗扰控制器

由于空间桁架结构模型较为复杂，很难获得其精确的数学模型。而自抗扰控制器不依赖于被控对象的精确模型，并且对于扰动能够进行很好的抑制，具有较强的鲁棒性，因此非常适用于对空间桁架结构的控制之中。

图5为自抗扰控制器的结构框图，其主要由扩张状态观测器(ESO)和非线性误差反馈控制率(NLSEF)组成。

4.1 扩张状态观测器

扩张状态观测器的核心思想是将系统的外部扰动和内部建模不确定性等未知扰动一起视作“总扰动”，将此“总扰动”扩张成为一个新的状态变量，从而构建一个能够观测此扰动变量的扩张状态观测器。

对于二阶的非线性系统

式中f(x1，x2，ω)为系统外绕和内部未知因素的总合。将原二阶系统中的f(x1，x2，ω)扩张成一个新的状态变量x3，并记 ，即可得到系统新的状态方程：

式中，β01、β02和β03等均为观测器的参数，通过调节这三个参数，可以使得z1(t)→x1(t)、z2(t)→x2(t)和z3(t)→x3(t)。fal函数是为了避免在数值仿真时出现的高频颤振而设计的幂次函数，此函数在原点周围具有线性的特性，定义如下：

其中δ为线性区间的长度。

4.2 非线性误差反馈律

为了消除振动，系统输入的参考位移和速度均为0。根据扩张状态观测器输出的状态变量的估计值可以得到系统的位移误差e1和速度误差e2。从而设计的非线性误差为：

u0=β1fal(e1，a1，δ)+β2fal(e2，a2，δ) (14)

4. 3 扰动补偿

将ESO估计的总扰动z3(t)在控制律中予以补偿可得：

将式(15)的控制量输入到式(10)的二阶非线性系统后，可以得到补偿后的系统为：

在补偿后的控制系统中，已经没有未知的扰动项，并且将控制系统转化为了简单的积分器串联型的形式。

4.4 并联系统自抗扰控制

将前面所建立的解耦后的刚架动力学方程分解为下式，这种结构称为并联系统结构。

对于不能够精确确定的刚架结构各阶固有频率、阻尼比或其他一些不确定因素，可将这些不确定的部分认为是内部未知因素，从而可以将以上系统变换为：

式中的ω0和ξ0均为自己设计的已知参数。

对式(18)进行变换，可得以y作为状态变量的新系统模型为：

上式中前四项的参数均为已知的，是系统的已知部分、外界已知的激振力和系统的控制律，最后一项是系统未知的部分。

5 自抗扰控制的仿真曲线

使用压电主动杆对空间桁架进行振动控制，共使用了三个压电主动杆，1号主动杆安装位置为底面的节点3—10，2号主动杆为侧面的节点15—16以及3号主动杆为顶部节点21—24。安装好压电主动杆以后的空间桁架结构前10阶固有频率如表2所示。

选取底面10号节点的方向为激振点，选取的正弦激振力幅值为10，激振频率与桁架结构的一阶固有频率相同，为54.9rad/s，这样可以激起桁架结构模型的一阶振动模态，从而激起较大的振动位移。并联系统中的参数ω0=60，ξ0=0。

控制节点为三个主动杆安装位置所在的节点，分别为10号节点的x方向，16号节点的z方向和21号节点的y方向，另外选取19号节点的y方向作为观测节点。

从图6中可以看出，施加控制以后，在添加了主动杆的三个连接节点可以获得很好的减振效果，系统在受到外力时激起的振动得到了有效的抑制，并且有效的抑制了19号节点在产生振动时的位移响应。四个节点的振动位移均减少了近两个数量级。

图7和图8分别为扩张状态观测器输出的跟踪位移和速度益线，从图中可以看出，扩张状态观测器观测获得的三个控制节点的位移和速度曲线基本与原系统的速度和位移曲线一致，说明了扩张状态观测器很好的跟踪了原系统的状态。

图9为扩张状态观测器观测得到的三个控制器的扰动跟踪曲线。由于在实际控制中，扰动是不可被精确得知的，但由于扩张状态观测器对系统输出的位移和速度的跟踪效果很好，所以可以认为所设计的扩张状态观测器也能够准确的跟踪上总扰动。

所施加的正弦扰动幅值为30，频率分别为50rad/s、200rad/s、600rad/s，在不同扰动频率下观测获得的四个节点控制曲线如图10和图11所示。

从图10和图11中可以看出，在控制输入端增加了三种不同频率的扰动以后，控制器的控制效果依然很好。其中当输入频率为200rad/s和 600rad/s时，控制器的输出基本和不添加扰动时的一样，仅在当扰动频率为50rad/s时，控制效果会相对于没有扰动时的控制效果略有变差，但仍然具有很好的振动抑制作用。施加扰动频率为50rad/s时控制效果略有变差的原因是因为此时扰动信号的频率与激振力的频率相近，所以会对系统有一定的影响。因此，可以看出自抗扰控制器具有较好的鲁棒性。

图12中对比了未加扰动时和施加了频率为50rad/s扰动时三个主动杆的控制电压的差别。由于主动杆最大所能承受的电压为1 50V，如果主动杆输入的电压超过150V，则有可能对其造成很大的损害，所以对于主动杆的输入电压需要进行限幅。从上图中可以看出，控制21号节点的主动杆在0.5s到0.8s和1.75s到2s左右时，已经达到了最大的输入电压，所以位移响应的控制效果也会有所下降。而这也与图9和图1 0中所示的位移响应在0.5s到0.8s和1.75s到2s左右时的位移控制效果相对最差所相对应。在这2个时间段内，扰动会对系统造成较大的影响，但在这段时间过后，系统依然可以获得较好的振动控制效果。

6 结论

本文对于所建立的空间桁架模型，选取了压电主动杆作为其控制元件，建立了桁架结构的动力学方程。然后设计了压电主动杆，并使用基于能量的优化准则和遗传算法进行了主动杆的位置优化。在此基础上，运用了由扩张状态观测器和非线性误差反馈控制律组成的自抗扰控制器对建立的模型进行了仿真分析。通过扩张状态观测器对系统状态的准确观测，从而实现系统中未知扰动的补偿。仿真结果表明，本文所设计的自抗扰控制器能够有效、准确的对空间桁架结构的振动进行控制。最后在控制系统中加入正弦扰动，验证了自抗扰控制器有较好的鲁棒性。