基于FPGA的可扩展高速FFT处理器的设计与实现

一、引言
　　DFT(离散傅里叶变换)作为将信号从时域转换到频域的基本运算，在各种数字信号处理中起着核心作用，其快速算法FFT(快速傅里叶变换)在无线通信、语音识别、图像处理和频谱分析等领域有着广泛的应用。用大规模集成电路FPGA(现场可编程门阵列)来实现FFT算法时，需要重点考虑的不再是算法运算量，而是算法的复杂性、规整性和模块化，因为算法的简单性和规整性将更适合大规模集成，更方便于版图设计，而算法的模块化更有利于FFT处理器的灵活扩展。组合数FFT算法和CORDIC(坐标旋转数字计算机)算法结合起来，在计算长点数、可扩展FFT时具有较大的优越性^［1，2］。而面向高速、大容量数据流的FFT的实时处理，可以通过VLSI(超大规模集成电路)器件的并行处理或多级流水线处理等来达到。特别是多级流水线处理的FFT结构使得基于FPGA器件的FFT处理器完成不同点数的FFT计算时可以通过增减模块级数很容易地实现。

二、组合数N=r₁r₂点混合基FFT原理
　　计算N点DFT：
　　
　　式中k=0，1，…，N-1。
　　若N=r₁r₂的组合数，可将n(n＜N)表示为
　　
　　式(2)的意义在于，计算组合数N=r1r2点DFT，等价于先求出r?2组r?1点的DFT，其结果经过对应旋转因子的相位旋转后，再计算r1组r2点的DFT。实际应用中，DFT往往用它的快速算法FFT实现，因而式(2)中的r1点DFT和r2点DFT都用r1点FFT和r2点FFT实现。

三、可扩展FFT处理器实现结构
　　根据式(2)的FFT算法原理设计FFT处理器的可扩展结构如图1所示。

　　采用流水线模块化级联结构，把FFT处理器划分成短点数FFT、级间混序RAM和相位旋转等功能模块，设计的各功能模块可以重复利用，通过复用或增减各功能模块可以灵活改变FFT处理器的计算规模，而且不增加设计量。在图1结构中，当L_i＝1时，就演变成了基2 FFT；当L_i＝2时，就演变成了基4 FFT；同理，当L_i≠L_j时，就演变成了高组合数的混合基FFT。

1.短点数FFT阵列结构
　
－Tukey算法结构实现时，有大量的复数乘法实际上转化为加减运算，所以用阵列结构实现不但具有速度快的优点，而且所用器件资源也减少很多，通过对阵列结构短点数FFT进行时分复用，可以提高运算单元的使用效率。

2.相位旋转运算单元
　　实现短点数FFT级间相位旋转，采用ROM存储旋转因子与数据复乘的传统方法，不仅涉及乘法运算，而且会消耗大量存储器资源。

　　利用CORDIC算法实现组合数FFT级间数据的相位旋转，把乘法转化成加减法运算，适合FPGA的大规模集成。可以设计出统一结构的CORDIC处理器模块，重复利用于不同级间实现相位旋转，而且其控制逻辑非常简单。

　　(1)CORDIC算法原理
　　复数P=x+jy旋转角度θ得到Q的表达式：
　　
　　如果旋转角度θ可以分解成n个小角度φ_i之和，即：
　　
公式:  
　　

　　(2)CORDIC处理器结构设计
　　本文提出了一种流水线CORDIC处理器结构的解决方案。实现式子(4)的迭代运算时采用补码移位和补码加减运算，可以减少大量求补运算，其迭代结构如图2所示。

??

　　
前者在于左移补零的位数的不同，这样，只需要改变n₀k₀的放大倍数(改变左移低位补零的位数)，就可以把同一方向向量功能模块级联到图1 FFT处理器的不同级间来计算CORDIC处理器的MSB_i，这就大大地减小了重复设计，其迭代结构如图3所示。
  

3.RAM结构及其级间数据混序用流水线读/写RAM地址发生器的设计
　　设计的RAM，每个存储单元为32 bit，高16位为复数的实部，低16位为复数的虚部。输入输出数据接口用RAM设计为乒乓结构，用两块相同的RAM交替读出或交替写入数据，这样就放宽了对I/O操作速度的要求，使得外围电路可以不必工作于FPGA系统时钟。

　　级与级之间数据混序用RAM设计为读/写RAM，对RAM同一存储单元用两个时钟完成一次读/写操作，即用流水线读/写同一块RAM来实现级与级之间的数据混序。此结构取代了用两块RAM完成数据混序的乒乓结构的传统方法，不涉及存储器之间的读写切换，控制逻辑非常简单，而且消耗的存储器资源节省一半，这是实现结构可灵活扩展的高速FFT处理器的关键和难点。可以通过理论推导，求得第i级FFT与第i-1级FFT级间混序用RAM的奇次读/写地址为
　　
　　的基础上向左循环移位，位长为L_i-L_i-1位；同时，后者又表示在前者的基础上向左循环移位，位长为L_i-L_i-1位，从而形成地址的循环移位规律。把L_i-1=L_i和L_i-1<L_i两种情况统一起来，即L_i-1=L_i时，L_i-L_i-1=0，不用循环移位，只需要计数器的高L_i-1位和低L_i-1位进行交替。利用此地址发生规律，可以设计基于图1结构的基2、基4等任意基x FFT以及混合基FFT级间数据混序用流水线读/写RAM地址发生器。

4.8×4×2点组合数FFT处理器的实验结果及其分析
　　我们利用FPGA实现的各功能模块按图1实现结构组装了8×4×2点组合数FFT处理器，通过仿真验证了其设计的正确性后，又在FPGA实验板上对它进行了硬件验证，其实验验证平台如图4所示。

　　硬件验证时采取的实验方法是，用相同的抽样频率f_s等间隔地抽取不同频率单频正弦信号相同点数64点，即固定FFT的频率分辨率f_r，利用设计的64点FFT处理器计算其幅度谱，观察其幅度谱中直流分量谱线和谐波分量谱线间隔大小的变化，把实验结果和理论分析结果进行对照，以确认FFT处理器工作的正常与否。

　　系统时钟工作在 40.861 MHz 时，抽样频率为 40.861/2=20.4305 MHz，抽样周期为1/20.4305 MHz=48.9 ns，抽取64个点的时间是48.9×64＝3.13μs。因为每个采样数据间隔时间是48.9μs，所以用设计的流水线方式工作的64点FFT处理器计算其幅度谱的谱线间隔也为48.9 ns。当输入单频正弦信号的频率约为638.454 kHz时，其周期为1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz频率抽样，3.13μs时间内刚好在正弦信号的2个周期内抽取64点，输入单频正弦信号的频率是频率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量为幅度谱的第1根谱线，一次谐波分量为幅度谱的第3根谱线，其理论计算结果波形如图5所示，实验测试结果波形及其的局部放大波形如图6和图7所示。

　　从示波器上可以看出，横坐标单元格间隔为1μs，FFT变换周期间隔约为3格，即约为3μs，抽取了信号波形的2个周期，64点FFT计算时间也约为3μs。

　　输入单频正弦信号的频率是频率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量为幅度谱的第1根谱线，一次谐波分量为幅度谱的第2根谱线。由于幅度谱的谱线间隔为48.9 ns，也就是说，直流分量和一次谐波分量间隔约为100 ns。从示波器上可以看出，横坐标单元格间隔为100 ns，直流分量和一次谐波分量间隔约为100 ns，和理论分析结果一致。

四、结论
　　本文以高组合数混合基DFT算法为基础，设计并用FPGA实现了变换点数可灵活扩展的流水线FFT处理器。输入/输出数据速率为20 MHz时，读/写RAM工作在40 MHz时钟，计算出1 024点FFT的运算时间约为52μs。本设计采用模块化设计结构，便于系统调试和实现，而且各设计模块可以重复利用，避免重复相同的设计，从而缩短芯片设计开发时间，更易于FFT处理器的结构扩展。整个FFT设计结构新颖，实现容易，具有一定实用价值。

参考文献

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