基于FPGA的RS(255，239)编译码器

摘要 RS(Reed—Solomon)编码是一种具有较强纠错能力的多进制BCH编码，其既可纠正随机错误，又可纠正突发错误。RS编译码器广泛应用于通信和存储系统，为解决高速存储器中数据可靠性的问题，文中提出了RS编码的实现方法，并对编码进行了时序仿真。仿真结果表明，该译码器可实现良好的纠错功能。

RS(Reed—Solomon)码是差错控制领域中的一种重要线性分组码，既能纠正随机错误，又能纠正突发错误，且由于其出色的纠错能力，已被NASA、ESA、CCSDS等空间组织接受，用于空间信道纠错。本文研究了RS码的实现方法，并基于Xilinx的FPGA芯片Spartan-6 XC6SLX45完成了RS编译码器的设计，同时对其进行了仿真和在线调试，并给出了功能仿真图和测试结果。时序仿真结果表明，该编译码器能实现预期功能。

1 RS编码的实现方法

RS码是一种多进制BCH(Bose—Chaudhuri—Hocquenghem)码，在给定每个码字所具有多少冗余量的情况下，RS码具有极大的最小距离。即RS码的最小距离d、信息长度k以及码字长度n满足d=n-k+1。而RS(255 239)码是在伽罗华(Galois Field)GF(28)中运算得到的，编码器实现的关键是伽罗华域乘法器的设计。设计中的乘法是2个有限域中元素的指数相加与255取模。GF(28)编码参数如下：码长n=255;信息位个数k=239;校验位r=n-k=16;纠错能力t=8;码距d=17。生成多项式为

根据式(3)画出RS编码的电路图，如图1所示。

n-k级RS编码器主要由一组线性反馈移位寄存器和控制电路组成，其是n-k=16级编码器，亦是线性反馈寄存器的反馈系数，reg16寄存器的值与当前输入的信息码元异或得到的结果即为feedback寄存器的值。

编码步骤：

步骤1 将所有寄存器清零，开关放到1上，则239个信息码元一边依次进入除法电路，一边依次输出。

步骤2 当最后一个信息码进入电路后，将开关放到2上，第一个校验位输出。

步骤3 校验码按时钟节拍载入寄存器，并依次输出。当最后一个校验位输出时，编码结束。

2 RS编码的仿真结果及分析

设计的RS(255 239)编码器使用Verilog HDL对整个模型进行描述，以Xilinx FPGA芯片Spartan-6XC6SLX45为硬件平台进行实现，并利用ISim仿真工具对RS编码进行仿真。

设计的RS(255，239)编码器，信息位239位编码为0，1，2，…，238，则16位校验位的值为58，236，152，44，88，31，20，168，121，60，32，10，191，166，4，101。设计的RS(255，239)编码器的仿真图如图2所示，当DI_VAL=0时，输出239个信息位;当DI_VAL=1时，输出16个校验位。该编码器实现了预期的编码功能。

3 RS译码的实现方法

RS译码主要有时域译码和频域译码，时域译码一般采用BM迭代算法或欧式算法(Euclid's Algorithm)。RS译码中最重要的环节是求解关键方程，欧式算法在求解关键方程时需进行多项式次数的判断，因此造成硬件电路复杂，译码速度下降，BM迭代算法具有快速、消耗资源少、控制电路较为简单等优点。文中改进后的BM迭代原理及以该算法为基础的RS译码器的FPGA实现。RS译码可分为4步：(1)由接收到的码组计算伴随式。(2)求关键方程。(3)计算出错误图样。(4)由错误图样和接收码组计算出可能发送的码字。图3给出了RS译码器的一般步骤框图。

设错误图样为E(x)，则R(x)=C(x)+E(x)。RS码的译码可分为3步：(1)由接收到的R(x)计算出伴随多项式S。(2)由伴随式计算出错误图样E(x)。(3)由C(x)=及(x)-E(x)计算得到发送码字，并完成译码。伴随式是对接收序列R(x)进行奇偶校验的结果，用以判断R(x)是否为有效码字，若R(x)为有效码字则伴随式S为零，任何S的非零值表示R(x)有错误。为译出一个纠正t个错误的RS码，伴随式S是2t重的，即S=(s1，s2，…，s2t-1，s2t)。

以上运算均可用流水线结构硬件实现。

初始化时，所有寄存器置零。经255个周期，接收完所有255个符号后，便可得到全部16个伴随式。因整个译码器采用流水线结构，所以在伴随式计算完后，产生一个时钟周期有效的“sc_done”信号，用以启动后续电路进行新的计算。由于在BM模块中，用到了A(x)与S的卷积求和，因此本模块将计算出的伴随式序列串行输出。

关键方程的计算采用BM算法，BM算法不仅在RS码的译码中起着关键作用，且也是目前已知的求序列线性复杂度最快且最佳的方法之一。该算法采用规整的脉动阵列，硬件实现更为方便。通过求解关键方程，得到A0～A8，其为后续的Chien搜索模块提供了参数。

A(x)可用来搜索错误位置，具体方法为：依次将

，则在该位置出现误码。Chien搜索模块框图如图5所示。

从上式可看出，两个多项式的相乘实质就是两个多项式对应的系数卷积求和。因此，该运算也可采用FIR滤波技术来实现，当初始化时，所有寄存器置零。然后每个时钟周期，伴随式从S1，S2，…，S2t依次移入寄存器。最终2t个Ωi移位寄存器的内容从左向右依次为Ω2t-1，…，Ω1，Ω0。错误多项式可得，整个译码过程如图6所示。

该过程完全实现流水线结构，其中包括伴随式计算、关键方程求解、Chien搜索、Forney算法等模块并行工作。在经过295个固有延迟后，每个时钟周期均可连续输出经校正的码字。

4 RS译码的仿真结果及分析

因设计的译码器最大纠错能力为8个符号，该文设定错误情况是第140位到第147位全错，正确值为140，141，142，143，144，145，146，147，错误值为5，11，56，98，35，15，132，159，图7是输入到译码器中含8个连续错误码字的255位编码序列，图8是译码器输出全部纠错以后的编码序列，由ISim仿真波形图可知，Err_Indicator表示错误标志，设计的译码器能实现最大的纠错能力。

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5 结束语

文中阐述了RS(255,239)编译码器的设计原理，并对编码器给出了在ISim中的时序仿真结果，其结果证明了该编码器设计的正确性。而在对译码器的设计中，假定出现连续8个误码的情况，并用ISim对所设计的译码器进行验证，由时序仿真结果表明，设计的RS(255,239)译码器能实现最大的纠错能力。设计的RS(255,239)编译码器达到了预定的目标，且该编译码器可应用于数据通信和数据存储系统的差错控制中。