四点二次插值的单片机汇编程序实现

    在微机化的仪器仪表控制软件中，特别是快速控制软件中，或因直接计算过于复杂，或因只有经验数据没有理论公式，常采用查表插值法计算某些数据。
    一般适合于插值法的函数是光滑性较好的函数。所谓“光滑性较好”是指以下两个方面：
    ◆连续且尽量高阶地可导：
    ◆其泰勒展开式中高次项的绝对值较小。
    采用多项式插值时，若提高多项式次数，除了增加计算量(在高速实时控制的程序中，计算速度是很重要的问题)外，从数学上看还有若干缺点，故实际应用中一般不用太高的次数。抛物线插值(三点二次插值)是常用的一种。
    提高精度的另一途径是增加节点密度。对于三点二次插值，节点密度若能提高二倍，则截断误差大约可以缩小到原来的1／8。但是这样一来数据表的容量也要加大二倍，因此在容量和精度间存在着矛盾。
    本文介绍一种“四点二次插值”算法，与普通三点=次插值相比，节点密度不变，计算量也差不多，但精度(最大误差限)大致相当于节点密度提高二倍的效果。
    四点二次插值的思想是：计算(xk,xk+1)区间的插值时，用(xk-1,xk,)的三点二次插值结果和(xk,xk+1)的三点二次插值结果相平均，作为最后结果。若采用等距节点，间距为h，根据这个思想，不难推出以下计算公式：

    与普通的三点二次插值法对比，可以看出计算量差不多(乘法次数相同，除以4可以用移位实现)。
    下面粗略分析其精度。
    二次插值误差余项应有三个零点，此法中xk和k+1是其两个零点。显然，如果第三个零点在x1和xk+1的中点处，则其精度和节点密度提高二倍后的三点二次插值法相同。
    设(xk-1,xk，xk+1)的三点二次插值误差余项为R1(x)，(xk,xk+1xk+2)的三点二次插值误差余项为R2(x)则四点二次插值的误差余项为

    系数K(ξ1′,ξ2)反映中点xm处四点二次插值的误差，比原来三点二次插值的误差减小的程度。若f'''(x)是常数，则k(ξ1，ξ2)=0，因而R(xm)=0。也就是说，R(z)第三个零点在xm处，达到上文所述的效果。
    对于比较光滑的函数，f'''(x)在小区间内不会变化太大，故k(ξ1,ξ2)式中的分子绝对值应较小。若K(ξ1，ξ2)近于0，则R(xm)也近于0，R(x)的零点仍在xm附近，效果与上述接近。可以证明(限于篇幅．证明略)，只要f'''(ξ1)与f'''(ξ)之比在O.5～2之间，则第三个零点必然在xk和xk+1之间。
    若K(ξ1,)绝对值较大即f'''(ξ2)与f'''(ξ2)之比距1较远)，或，f'''(ξ1)与，f…(ξ2)反号，则零点不在中点附近，此时精度并没有明显提高，但不会比原来的情况差。这必然是K(ξ1,ξ2)式中的分母绝对值太小，也就是说，是处在，f'''(x)过零或近于零的区域。
    对于较光滑的函数，原三点二次插值法的截断误差大致正比于其三阶导数，因此三阶导数较大的区域也是精度最差的区域。f'''(x)过零或近于零的区域中，误差本来就远小于其它区域。综上所述，四点二次插值法与之相比，在三阶导数较大的区域，精度大致改进到相当于节点密度提高二倍后的三点二次插值法；在三阶导数近于0的区域，则不会比原来三点二次插值法差。从实用的角度，可以说已经实现了上文所说的效果。
    另外，还可以指出，这个算法中的v1、v2都是由数据表中相邻项的差值产生的，绝对值常常较小，故乘法常可以采用低精度乘。这一点在以较低档的微处理器构成的应用系统中是有实际意义的。如下面AVR单片机的程序中，结果是双字节精度，但其中乘法为单字节。
    下面将给出以MCS-96单片机汇编语言和AVR单片机汇编语言编写的程序实例。
    实例中，取间隔h为2的整数幂。这样，定点形式的自变量只要采用简单的移位，即可以得出整数的k和纯小数的“，作为下列程序的入口参数。在MCS一96单片机的程序中，k和u均取双字节；在AVR单片机的程序例中，k和u均取单字节，但结果为双字节。
    这是一个应用程序中用来查几种数据表的子程序。因为这些表都是增函数，故下面设计中认定“[v2×u′+v1]必为正”。表中相邻项的差，符合程序注释中的要求(特别是第二个例子vl、v2为单字节)，否则程序需要适当调整。
    说明：以下y′、yO加、yl和y2即上文中的fxk-1)，f(xk)，f(xk+1)和f(xk+2)。
    MCS一96和AVR单片机汇编语言插值算法程序见本刊网站www.dpj.com.cn。