基于信息熵的Markov网络结构学习算法研究

1 引言
    日常生活中人们常需要处理不确定信息，例如：预测明天是否会下雨，病人是否得了某种疾病。Bayesian网是进行不确定性推理的有力工具，被广泛应用于人工智能、专家系统、数据挖掘等领域，是当前研究的热点。利用Bayesian网可以推理不确定性知识，从而达到较好效果。
    Markov网是类似于Bayesian网的另一种进行不确定性推理的有力工具。Markov网是一个无向图，构造时无需发现边的方向，要比构造Bayesian网容易得多。首先构造Markov网，再求出与之等价的Bayesian网。本文提出一种基于信息熵的方法构造Markov网，给出一个有效的基于信息独立测试的Markov网的构造算法，该算法是一种基于依赖分析的算法。在测试样本中的条件独立时，利用信息论中验证信息独立的一个重要结论，从而大大提高效率。为衡量构造的Markov网的好坏，引入I-图、D-图和P-图的概念。

2 依赖模型与MarkOV网
    知识可以用一组条件独立和条件概率表示，Markov网(无向图)用于表示条件独立。下面主要讨论如何用Markov网表示一个依赖模型M(一组条件独立的集合)以及如何衡量Markov网的好坏(引入I-图、D-图和最小P-图)。
    定义1：依赖模型M定义为一组条件独立的集合，设X，Y，Z是全集U的3个不相交的子集，M={I(X，Z，y)}。其中的I(X，Z，y)表示在给定Z的条件下，X独立于Y，即：p(X|Y，Z)=p(X|Z)和p(Y|X，Z)=p(Y|Z)。
    定理1：依赖模型M中的I(X，Z，y)满足以下4个性质，设X，Y，Z是全集U的3个不相交的子集，
    (1)对称性：I(X，Z，Y)XXXXXXI(Y，Z，X)；
    (2)分解律：I(X，Z，Y∪W)=》I(X，Z，Y)＆I(X，Z，W)；
    (3)弱归并律：I(X，Z，Y∪W)→I(X，Z，∪W，Y)；
    (4)减缩律：I(X，Z，y)&I(X，Z，∪Y，W)→I(X，Z，Y∪W)若联合概率函数p严格为正，Vx，p(x)>0，则相交律成立。
    (5)相交律：I(X，Z，∪W，Y)＆I(X，Z，∪Y，W)→I(X，Z，Y∪W)给定一个依赖模型M，利用无向图中节点分割的概念表示依赖模型中的条件独立。
    定义2：在有向无环图G中，X，Y，Z是U上3个不相交的子集，删去节点集Z及其相应的边，使节点集X，Y之间再无边相连，称Z将X，Y分割开，记为<X|Z|Y>G。用<X|Z|Y>G表示依赖模型中条件独立信息I(X，Z，Y)，得到一个依赖模型的图形化表示方式，继续用I-图、P-图、D-图的概念衡量依赖模型M中的所有条件独立信息和最优Markov网。
    定义3：设M为依赖模型，I(X，y，Z)M表示依赖模型M所蕴含的依赖关系(条件独立)I(X，y，Z)。无向图G=(V，E)为M的I-图、D-图、P-图，定义如下：
    (1)G是M的I-图(独立图)，当<X|Z|Y>G=<X|Z|Y>M。
    (2)G是M的D-图(依赖图)，当<X|Z|Y>M=><X|Z|Y>G。
    (3)G是M的P-图(理想图)，当<X|Z|Y>M<=<<X|Z|Y>G。
    由上述定义可知，I-图不一定包含依赖模型M所蕴含的所有依赖关系，但I-图中蕴含的依赖关系M中一定蕴含；D-图恰好相反，D-图包含依赖模型M所蕴含的所有依赖关系，但D-图中蕴含的依赖关系M中不一定蕴含；P-图是最理想的情况，P-图与M形成一一对应关系。空图(不含任何边的无向图)是一个平凡的D-图，而完全图(包含所有边的无向图)是一个平凡的I-图。
    定义4：设一个无向图G是M的一个I-图，若删除G中任何一条边后，使得G不再是M的I-图，则称G为M的最小I-图。显然，最小I-图能够最多地表示依赖模型M中的依赖关系。
    定理2：满足对称性、分解性、相交律和弱归并律的依赖模型M,从完全图中删除所有条件独立性成立的边，则产生一个唯一的最小I-图。

3 信息熵概述
    Markov网结构用来消除不确定性的东西，信息的载体称为消息。含有信息的消息集合称为信源。信源的信息熵，就是信源提供整个信息的总体度量。所以如果消息消除的不确定性越大，信源的信息熵就越小，信息间的相互依赖性就越大；反之，信息间的相互独立性就越大。具体概念作如下定义：
    定义5：设属性X具有r种可能状态，Pi为状态Xi时的概率，则信息熵可定义为：

   
式中，C为大于0的常数。
    定义6：设X，Y为两个相互关联的随机变量，称：为X，Y的联合熵。H(X|Y)=H(X，i=1j=1Y)-H(Y)为给定Y时X的条件熵。条件熵H(X|Y)表示在观测到Y的结果后，对X保留的不确定性度量。
    定义7：设X，Y，Z为3个不相交的变量集，称：的互信息。
    为给定Z的条件下，X和Y的互信息(条件互信息)。
    定理3：互信息I(X，Y)和I(X，Y|Z)具有如下性质：
    (1)对称性，即I(X，Y)=I(Y，X|Z)和I(X，Y|Z)=I(Y，X|Z)；
    (2)非负性，即I(X，Y)≥0和I(X，Y｜Z)≥0。而且，当且仅当X和Y条件独立时有I(X，Y)=0。同理，当且仅当在给定条件Z，X和Y条件独立时I(X，Y｜Z)=0。

4 基于信息熵的Markov网构造算法
    给定一样本集(n个属性的一张二维表)，先对系统中N个变量构建一个完全无向图氏，然后利用信息独立测试理论有效删剪PG图，以得到所求的Markov网。
    首先给出这个算法所需要的一些假设：给定的样本数据集D是完整的；所有的变量取值均为离散性，若取值连续可先进行离散化。
    第1步：构造完全有向图
    定义8：设一个系统含有N个变量｛X1，X2，……，Xn}，完全有向图PG={<Xi,Xj>|，其中i,j=1，2，…，n且i≠j，<Xi，Xj>表示Xi与Xj有因果关系Xi→Xj}。由此定义可知，PG是一个I-图。
    第2步：有效删剪PG图
    从定理3的性质2可得到一个判断X,Y是否条件独立的算法：当给出一个概率分布P(x)时，可通过判断I(X，Y|Z)=0代替I(X，Y|Z)，从而PG图中的X→Y和Y→X边可删除；否则。在给定条件Z的情况下，X和Y互相依赖。然而在实际计算中并没有一个真正的概率分布P(x)，只有一个基于样本数据集D而计算的一个经验概率分布PD(x)近似估计P(x)，计算的I(X，Y｜Z)只是基于PD(x)上的I(X，Y｜Z)近似值，所以其值总大于0。为此，判断条件独立方法可描述为：
    定理4：设X，Y，Z为全集U上3个不相交的子集，基于样本数据集D上概率分布PD(x)，如果有：I(X，Y｜Z)<ε，则判定给定Z，X与Y条件独立；否则给定Z，X与Y是条件依赖的。其中ε为一个阈值，通常取一个很小的正数。
    由定理4可知，经这一步删减，在不考虑边的方向情况下，PG图是一个最小I-图，即所要构造的Markov网。其算法如下：
    (1)输入样本数据集D，节点集U，阈值ε1

    (4)输出V
    由以上算法可知：整个算法是计算复杂度为O(／N2)的条件独立性CI(Conditional Independence)测试。

5 实例分析
    此例来自对华盛顿高级中学131名高年级学生的升学计划调查，每个学生用下列变量及其相应的状态来描述：性别(X1)：男、女；社会经济状态(X2)：低、中下、中上、高：智商(X3)：低、中下、中上、高；家长的鼓励(X4)：低、高；升学计划(X5)：是、否。样本数据：下面的数据表示对5个变量取值的某种组合统计所得到的人数，例如：第一个数据4表示对(X1=男，X2=低，X3=低，X4=低，X5=是)这种组合所统计出的人数。变量依次按从右到左的顺序轮换，状态则按照上述所列各变量状态的顺序进行轮换，依此类推，得到完全统计数据如下：4，349，13，64，9，207，33，72，12，126，38，54，10，67，49，43，2，232，27，84，7，201，64，95，12，115，93，92，17，79，119，59，8，166，47，91，6，120，74，110，17，92，148，100，6，42，198，73，4，48，39，57，5，47，123，90，9，41，224，65，8，17，414，54，5，454，9，44，5，312，14，47，8，216，56，35，13，96，28，24，11，285，29，61，19，236，47，88，12，164，62，85，15，113，72，50，7，163，36，72，13，193，75，90，12，174，91，100，20，8l，142，77，6，50，36，58，5，70，110，76，12，48，230，81，13，49，360，98Heckerman等用基于统计打分搜索算法得到如图1所示的两种最有可能的结构。

    基于图1所示的算法计算结果如下：取阈值为0．007和0．001，经计算得到图2a的结构，根据专家知识可知：性别、社会经济状态是不会有父节点的，所以对X1<=>X4和X2<=>X3两种依赖关系可修订为X1=>X4和X2=>X3，由此得到图2b所示的结构。因此，可以看出，图1a和图2b是一样的。根据Markov的理论和特征，得到Markov网结构，如图3所示。

6 结束语
    通过认真研究信息熵理论知识得到基于信息熵的Markov网算法，在一定程度上简化了Bayesian网推理过程，提高了推理效率，对知识的不确定推理研究具有参考价值。