组合BCH码在CDMA系统中的研究与应用

摘要：提出了素多项式同组的概念，并对由同组的素多项式构成的组合BCH码在码长、信息位长度、阶数等方面的特性进行了研究和分析。同时，还对组合BCH码经过群变换后产生的类正交矩阵进行了研究。研究发现，当构成组合BCH码的素多项式的个数越多时，类正交矩阵的行类正交性越好，列类正交性越差。最后，将组合BCH码的类正交矩阵用于CDMA通信系统中，并分析了在构成组合BCH码的素多项式个数不同的情况下，行和列分别作为多用户编码时的误码率。
关键词：组合BCH码；类正交矩阵；CDMA；误码率

    BCH码最早是由霍昆格姆(Hocquenghem)在1959年、博斯(Bose)和查德胡里(Chandhair)在1960年各自提出的，它是一类重要的循环码，能纠正多个随机错误。本文中由BCH码或者BCH码组合得到的生成多项式，采用群变换编码方法，可以得到一种具有类正交特性的矩阵。利用矩阵的类正交特性，将其用于码分多址的多用户传输，此外，也可以将这种矩阵用于扩谱通信和通信加密等方面。

1 BCH码的组合特性
1．1 BCH码的产生
    对于BCH码中的一个素多项式：
   
    式中：xi仅表明其系数(1或0)ci的值，x本身的取值并无实际的含义。BCH码的生成多项式g(x)可以由一个素多项式构成，也可以由若干个素多项式组合而成。
    BCH的码长n一般是2m-1或是2m-1的因子，通常把码长为2m-l的BCH码称为本原BCH码，而把码长为2m-1因子的BCH码称为非本原BCH码。
1．2 BCH码的组合特性
    由BCH码的定义可知，对于(n，k)的生成多项式g(x)，它的阶数为m，则由g(x)产生的BCH码的码长n为2m-1或2m-1的因子。将这些生成多项式的阶数等于m，码长为n是2m-1或是2m-1的因子的素多项式放在同一组中，称为同组BCH码素多项式。对于同组的素多项式，将他们中的一个或者多个素多项式进行组合，可以得到组合BCH码，即：
   
    由同组的素多项式构成的组合BCH码在码长、信息位长度和阶数等方面具有一些特殊的性质。组合BCH码的最高项次数为：
   

2 组合BCH码的类正交特性
2．1 互相关系数
    在判断一个矩阵的正交特性的时候，往往会用到互相关系数这个概念。
    在一个矩阵中，设各个码组的编码长度为n，每个码元只取+1和-1，x和y是该矩阵中的两个码组：
   
    若码组x和y正交，则必有ρ(x，y)=0；若码组x和y不正交，则ρ(x，y)≠0，并且当码组x和y的相关性越小时，它们的相关系数ρ(x，y)越小；当码组本身与本身相乘时，有ρ(x，x)=1。
2．2 类正交矩阵的产生
    在(n，k)的BCH码中，它的码长为n，信息位长度为k，BCH码的生成多项式g(x)的最高阶数为m，并且满足k=n-m。
    首先，根据BCH码的生成多项式g(x)，运用群变换的编码方法，产生生成矩阵G，它是一个k×n的矩阵。
   
    群变换后的生成矩阵G可以分为两个部分，前半部分是一个k×k阶的单位矩阵Ik，后半部分，称之为P矩阵，它是一个k×m阶的矩阵，即：

    由此可以得到P矩阵的变换矩阵P’，经过研究发现，P’矩阵的行向量与行向量、列向量与列向量之间的自相关性很强，互相关性很弱，这说明该矩阵具有类正交性，因此称P’矩阵是一种类正交矩阵。
2．3 组合BCH码的类正交性
    对于同组的BCH码，由前面的BCH码的组合特性可知，在同组的素多项式中，如果将其中的t个素多项式组合，得到组合BCH码的码长nt=n =2m-1，阶数mt=tm，信息位长度为k=nt-mt=n-tm，则组合BCH码得到的类正交矩阵P’的大小为：
    kt×mt=(n-tm)×tm       (10)
    由上式可以看出，对于类正交矩阵P’来说，当组合的素多项式的个数越多，即t越大，那么它的行数就越少(n-tm越小)，它的列数就越多(tm越大)。对于类正交矩阵P’中的行向量来说，由于t变大，那么每行的码元个数(每行的码元个数就等于列数)也会增多，随着码元个数的增多，其中“-1”和“1”的个数也趋于平衡，所以行向量之间的类正交性越好，即行向量之间的互相关系数越小；而对于类正交矩阵P’中的列向量来说，t变大使得每列的码元个数(即行数)减少，因此每列中“-1”和“1”的个数的平衡性越差，所以列向量之间的类正交性也越差，即行向量之间的互相关系数变大。
    图1，图2是在阶数为8，码长为255的同组中选取不同素多项式进行组合，t=4和t=8时的类正交图。

    t=4时，行向量的互相关系数小于0．2的占总数的75．88％，列向量的互相关系数小于0．2的占总数的96．68％；t=8时，行向量的互相关系数小于0．2的占总数的84．98％，列向量的互相关系数小于0．2的占总数的93．35％。由此可见，当t越大，行向量之间的类正交性越好，列向量之间的类正交性越差。

3 组合BCH码在CDMA系统中的应用
3．1 CDMA系统
    CDMA(Code-Division Multiple Access，码分多址)是近几年来在数字移动通信进程中出现的一种先进的无线扩频通信技术。码分多址用各自不同的编码序列来区分，它利用了码之间的正交性，在同时、同频的情况下对多个用户进行复用通信。
    在码分多址通信中，设有n个用户，每个用户所用的码分别为w1(t)，w2(t)，…，wn(t)，互相正交，用户码的持续期为T，即：
   
    每个用户的信息分别为m1(t)，m2(t)，…，mn(t)，则第i个用户信号：si(t)=mi(t)wi(t)，则n个用户码分复用后多用户信号为：
   
    由于用于码分多址通信的用户码之间具有正交性，在接收端将接收到的信息与正交编码相乘，即可分离出相应的用户信息：
    mi(t)=s(t)wi(t)=mi(t)     (13)
3．2 组合BCH码在CDMA系统中的应用
    由前面的内容可知，由BCH码的生成多项式经过群变换编码后产生的P’矩阵，是一种具有类正交性的矩阵。而在CDMA通信系统中，需要用正交的编码序列来对多路用户信号进行编码。因此用这种类正交矩阵来代替walsh矩阵，用于CDMA。由于P’矩阵中的任意行或者任意列之间不完全正交，即互相关系数不全为0，所以不论用行作为编码序列，还是用列作为编码序列，在解码的时候，所得结果都会存在一定的误差。虽然行与行或者列与列之间的互相关系数不全为0，但是他们的互相关性还是很弱的(即互相关系数接近于0)，所以存在的误差对最终还原出来的用户信号的影响并不会很明显。图3是用P矩阵中的列作为正交编码进行多用户传输后，恢复出来的信息与原信息的比较，图中虚线表示原信息，实线表示恢复的用户信号。由图3可以看出，用类正交矩阵进行码分多址的多用户传输可以较好地恢复出各路用户的信息。

4 结语
    属于同组的t个素多项式可以进行任意组合，构成的组合BCH码的码长n’=2m-1，阶数mt=tm，信息位kt=n-tm(n>tm)。由此BCH码经过群变换后产生的类正交矩阵P’的大小为(n-tm)×tm，t越大，类正交矩阵中行越少，列越多，即每行的码元数越多，而每列的码元数越少，因此其行的类正交性越好，列的类正交性越差。这里将类正交矩阵P’用于CDMA进行多用户传输，虽然存在一定的误差，但是基本恢复出原信号。除了将类正交矩阵应用于CDMA之外，还可以将它用于扩谱通信、通信加密及分离多径等方面，因此这种类正交矩阵具有广阔的应用前景。