示波器基本原理之二：采样率

数字测量应用所需的采用率为多少？一些工程师对于 Nyquist 理论深信不疑，并且认为只要采样率是示波器带宽的 2 倍便足矣。而其他工程师则不相信建立于 Nyquist 标准的数字滤波技术，更愿意使用采样率为带宽技术指标 10 至 20 倍的示波器。实际情况介于二者之间。若要理解其中的原因，则必须了解 Nyquist 的理论及其与示波器频率响应之间的关系。 Harry Nyquist 博士（图 1）假设：

Nyquist 采样定理 对于具有最大频率 fMAX的有限带宽信号，等间隔采样频率 fS必须大于两倍的最大频率 fMAX，才能唯一地重建信号而不会有混叠现象。

Nyquist 采样定理可以归纳为两个简单规则，然而，对于 DSO 技术而言却不是那么简单。

1. 采集的最高频率分量必须小于采样率的一半。

2. 第二个规则是必须等间隔采样，而这一点经常会被遗忘。

Nyquist 所称的 fMAX就是我们通常所指的 Nyquist 频率（fN），它不同于示波器带宽（fBW）。如果示波器带宽恰好指定为 Nyquist（fN），则意味着示波器具有理想的砖墙式（brickwall）响应，该响应在此相同频率下会完全衰减（如图 2 所示）。低于 Nyquist 频率的频率分量会完全通过（增益 =1），高于 Nyquist 频率的频率分量则会完全予以排除。然而，这种频率响应滤波器无法在硬件中实施。

图2 - 理想的砖墙式频率响应

带宽技术指标为 1 GHz 及以下的大部分示波器具有称为高斯频率响应的响应类型。当信号输入频率接近示波器的指定带宽时，测得的幅度会慢慢下降。信号在带宽频率下将会衰减 3 dB（~30%）。如果示波器的带宽正好指定为 Nyquist（fN）（如图 3 所示），输入信号超过这个频率的分量尽管衰减超过 3 dB，但也被采样（红色阴影部分），尤其当输入信号中包含快速边沿时，情况更是如此（测量数字信号时）。这种现象违背了 Nyquist 采样定理的第一条规则。

图3 - 带宽（fBW）指定为 Nyquist 频率（fN）时，典型的示波器高斯频率响应

大多数示波器厂商不会将示波器的带宽指定在 Nyquist 频率（fN），不过也有部分厂商会这样做。但是，波形记录仪 / 数字转换器的厂商往往会将其仪器的带宽指定在 Nyquist 频率。现在我们看一下，如果示波器的带宽与 Nyquist 频率（fN）相同时会是什么状况。

图 4 显示：在三或四通道模式下工作时， 500-MHz 带宽的示波器正好以 1 GSa/s 的速度进行采样。尽管输入信号的基本频率（时钟频率）处于 Nyquist 的范围内，但是信号边沿所包含的重要频率分量远落在 Nyquist 频率（fN）之外。仔细查看会发现，该信号的边沿具有不同程度的预冲、过冲和各种边沿速度，呈现出“不稳定” 的趋势。这就是混叠的迹象，它清晰地表明仅仅使用带宽为采样率 2 倍的示波器还不足以获得可靠的数字信号测量结果。

图4 - 使用 1 GSa/s 采样率和 500-MHz 带宽的示波器进行采样所产生的混叠边沿

那么，示波器的带宽（fBW）的定义应该 怎 么 关 联 到 波 器 的 采 样 率（fS） 和 Nyquist 频率（fN）呢？为了尽量避免对超出 Nyquist 频率（fN）的频率分量进行采集，大多数示波器厂商将其具有典型高斯频率响应的示波器带宽指定为实时采样率的 1/4 至 1/5 或更低（如图 5 所示）。尽管以比示波器带宽大更多倍的速率采样可以进一步降低采集 Nyquist 频率（fN）之外频率分量的可能性，但是 4:1 的采样率与带宽比足以获得可靠的数字测量结果。

图5 - 将示波器带宽（fBW）限制为采样率的 1/4（fS/4），可以降低 Nyquist 频率（fN）之上的频率分量

带宽技术指标在 2-GHz 和更高范围的示波器通常具有更陡峭的频率衰减响应 / 特征。我们将这种类型的频率响应称为“最大平坦度”响应。由于具有最大平坦度响应的示波器接近于砖墙式滤波器的理想特征，在这种情况下，超出 Nyquist 的频率分量衰减程度更高，因此无需进行多次采样即可很好地显示使用数字滤波的输入信号。理论上厂商可以将具有此类响应的示波器带宽（假设前端模拟硬件具备相应能力）指定为 fS/2.5。

图 6 显示了 500-MHz 带宽的示波器捕获边沿速度在 1 ns（10% - 90%）范围的 100-MHz 的时钟信号。500 MHz 的带宽技术指标是精确捕获此数字信号的最小推荐带宽。这一特定的示波器能够在双通道工作模式下以 4 GSa/s 进行采样，或者在三或四通道工作模式下以 2 GSa/s 进行采样。图 6 显示的是 2 GSa/s 采样的示波器，其采样频率是 Nyquist 频率（fN）的两倍，带宽频率（fBW）的四倍。该图表明，采样率与带宽之比为 4:1 的示波器可以非常稳定而准确地表示输入信号。并且，借助 Sin(x)/x 波形重建 / 插值数字滤波技术，此示波器的波形和测量分辨率可达几十皮秒的量级。与我们之前图 4 所显示的例子（采用相同带宽的示波器，但仅为带宽（fN）两倍的速度进行采样）相比，波形稳定性和精确度的差别显而易见。

图6 - 采用是德科技 500-MHz 带宽示波器以 2 GSa/s 的速率进行采样，可以精确测量这个边沿速度为 1 ns 的 100-MHz 时钟信号

那么，如果我们将采样率增大一倍，使其达到 4 GSa/s，再以相同的 500-MHz 带宽示波器（fBW x 8）采样，结果又会怎样呢？您可能会直观地认为该示波器将会获得更佳的波形和测量结果。但正如图 7 所示，您只能取得很小的改进。如果仔细观察这两个波形图（图 6 和图 7），您将会发现，以 4 GSa/s（fBW x 8）采样时，显示的波形中仅有轻微的预冲和过冲。但是，上升时间测量显示相同的结果（1.02 ns）。波形保真度略有提高的关键在于：当此示波器的采样率与带宽之比由 4:1（2 GSa/s）升至 8:1（4 GSa/s）时，没有引入其他的误差源。这就引出了我们的一个主题：如果违背 Nyquist 规则二会怎么样呢？ Nyquist 强调必须等间隔进行采样。用户在评测数字存储示波器时，往往会忽视这一重要规则。

图7 - 采用是德科技 500-MHz 带宽示波器以 4 GSa/s 采样，与 2 GSa/s 采样相比，对测量效果的提高微乎其微

当 ADC 技术已经在最大采样率方面达到限制时，示波器厂商如何制造出具有更高采样率的示波器？追求更高采样率或许只是想满足示波器用户对于“越高越好”的认知，或者用户认为若要获得更高的带宽实时示波器测量效果，实际上可能需要更高的采样率。但是，若使示波器具有更高的采样率，并非像选择具有更高采样率的现成模数转换器那样简单。

所有主要示波器厂商均采用一种常见的技术，即交叉多个实时 ADC。但是，请不要将此交叉采样的技术与重复采集技术相混淆，我们将后者称之为“等效时间”采样。

图 8 显示由两个 ADC 利用相位延迟采样技术构成的实时交叉 ADC 系统结构图。在本例中，ADC 2 一律对 ADC 1 采样之后的 ? 时钟周期进行采样。在每个实时采集周期完成后，示波器的 CPU 或波形处理 ASIC 会对存储在每个 ADC 采集存储器中的数据进行检索，然后交叉样本以获得实时的数字化波形，且样本密度也会翻倍（是采样率的两倍）。

具有实时交叉采样特征的示波器必须遵守两个要求。一是，若要实现无失真的准确交叉，每个 ADC 的垂直增益、偏移和频率响应必须严格匹配。其二，必须对相位延迟时钟进行高精度的校准，以满足 Nyquist 规则二的要求，即等间隔采样。换句话说，ADC 2 的取样时钟必须在样品 ADC 1 之后精确地延迟 180 度。这两个条件对于准确交叉都非常重要。但是，为了对因交叉不良而导致的错误有更直观的理解，后文将重点分析仅因相位延迟定时不佳而导致的错误。

图8 - 由两个交叉 ADC 构成的实时采样系统

图 9 中所示的定时图说明，如果两个交错的 ADC 相位延迟时钟系统彼此之间没有呈现精确的 ? 采样周期延迟，则交错采样会出现定时误差。此图显示了实时数字化的点（红点）相对于输入信号进行实际转换的位置。但是，由于对相位延迟定时校准不理想（紫色波形），这些数字化的点没有进行等间隔采样，因此也就违背了 Nyquist 的第二条规则。

图9 - 非等间隔采样的定时图

当示波器的波形处理引擎对每个 ADC 采集存储器所存储的数据进行检索时，首先会假设每个存储设备中的采样数据为等间隔采样。当您尝试着对初始输入信号的形状进行重建时，示波器 Sin（x）/x 重建滤波器所表示的信号将出现严重失真（如图 10 所示）。

由于输入信号与示波器取样时钟之间的相位关系是随机的，当您查看重复采集时，实时采集失真（有时称为“采样噪声”）可能会被误释为随机噪声。但该相位关系也不完全是随机的，也具有一定的确定性，且与示波器的取样时钟直接相关。

图10 - 该定时图显示了因相位延迟定时不佳而造成失真的波形，使用 Sin(x)/x 滤波器对其进行重建

示波器厂商不会在其 DSO 数据表中为客户提供可以直接量化示波器数字处理过程的技术指标。但是，我们仍然可以轻松执行各种测试，不仅可以测量采样失真的影响，还可以确定并量化采样失真。下面的一个测试列表可