为什么卷积要先反转再滑动呢？不翻转为什么不行？

的确，对于两个信号之间的卷积运算，可以理解为对其中任意个信号进行“反褶”、“平移”、“相乘”、“积分(累加)”，最后得到卷积结果：

相比之下，相关运算就没有其中的“反褶”部分。但是，对于复值信号，需要对后面的信号取共轭^[1]

卷积运算满足一些代数性质，比如交换律、结合律、分配率，但相关运算不满足。

到现在为止，我们只是讨论了这两个运算究竟哪里不一样，即卷积需要先反褶，再滑动，而相关运算不需要反褶。但你还在问第二个问题：不反褶不行吗？

首先，如果参与运算两个实数信号中，有一个信号为偶函数，那么它们的卷积运算就和相关运算相同了。即可以不进行反褶。但为什么要引入带有反褶运算的卷积呢？

在应用中，相关运算主要描述的是信号与信号之间的相似关系，而卷积运算描述的是信号与系统之间的关系。

相关运算中的核心积分运算是描述了两个信号之间的内积：

在线性空间中也可以引出两个信号之间的相似程度的度量，相关运算的结果反映了两个信号之间在不同的延迟情况下的相似性。因此可以通过寻找相关结果的峰值确定两个信号之间的延迟关系。

卷积则是刻画了一个线性时不变系统的零状态响应 与系统的输入信号 和系统的单位冲激响应信号 之间的关系。利用信号可以分解成冲激信号的叠加：

在利用系统的线性+时不变特性，可以得到系统的输出 就等于 的卷积。

这其中的简单推导在任何一本讲解信号与系统教材中都有。因此引入带有反褶的卷积运算是为了刻画信号与系统之间的关系的。

正是由于引入了卷积运算，所以对于任何一个线性时不变系统，都可以将其与一个信号（系统的单位冲激响应）一一对应起来。信号与系统达到了完美的统一。

由此，你可能还要问：为什么系统的响应中，输入x(t)需要与单位冲激响应h(t)进行卷积运算？，只是进行相关不行吗？

进行相关运算时，参与运算的两个信号是对等的，它们的变量 都反映了信号随着时间 的过程演变的情况。但进行卷积运算时，其中一个信号是系统的单位冲激响应，运算结果中的变量 反映了系统输出结果所在的时刻，站在 时刻，考察输入信号 的不同时间 的取值是如何累计出系统的输出 的。因此，对于信号而言，它们的变量是 ，而不是 。

对于 时刻的信号 所产生的结果，只需经过延迟 的时间，便到达了时刻 了，即 。将所有的 所产生的结果进行积分，便可以得到系统在 时刻的取值了。

文字显得枯燥，一图抵千言。下面是郑君里^[2]教授的教材中对此进行的图片描述。还是挺形象的。

在 中国科学网^[3]也有很多教授对系统输出的卷积运算中的反褶进行了很好的讨论，比如曹广福老师在我来说卷积中，讨论了连续和离散时间卷积运算，并把离散卷积看成级数运算。许志强在卷积是什么？的博文中，将卷积看成加权平均积。王一哲在卷积的理解及应用中给出了很多图形方面的解释。

所以，你提到的卷积运算中的奇怪的反褶过程，实际上引起过很多人的疑问以及对此的讨论。

可能最后，你还要问：既然，卷积运算和相关运算这么相近，为什么非要定义这个卷积，直接就定义成反褶+相关不就行了吗？

这个话就长了，虽然根据 奥卡姆剃刀原理^[4]，可以尽可能减少概念、定理的数量来满足数学上的精简需求。但在工程中，人们还是喜欢偷懒。更有甚者，还采用挂羊头，卖狗肉的做法，对一些本质相同的运算，委以不同的名称，虽然还达不到扰乱视听的，但也是一种约定俗称，比如像 离散周期序列傅里叶级数分解（DTFS）、离散傅里叶变换（DFT）、 快速傅里叶变换（FFT）**本质上的数学概念是一样的。

这样也没什么不好的，就连孔乙己都知道“回”字 回字有四种写法^[5]呢。

参考资料