数据结构之二叉树

树（tree）是包含n（n>0）个结点的有穷集，其中：

1.每个元素称为结点（node）；

2.有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。

3.除根结点之外的其余数据元素被分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm-1，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作原树的子树（subtree）。

树也可以这样定义：

树是由根结点和若干颗子树构成的。树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个结点具有特殊的地位，这个结点称为该树的根结点，或称为树根。

我们可以形式地给出树的递归定义如下:

单个结点是一棵树，树根就是该结点本身。

设T1,T2,..,Tk是树，它们的根结点分别为n1,n2,..,nk。用一个新结点n作为n1,n2,..,nk的父亲，则得到一棵新树，结点n就是新树的根。我们称n1,n2,..,nk为一组兄弟结点，它们都是结点n的子结点。我们还称T1,T2,..,Tk为结点n的子树。

空集合也是树，称为空树。空树中没有结点。

那么常见树的种类有：满二叉树，完全二叉树,二叉树,红黑树,无序树，哈夫曼树等等。今天我们主要是来了解二叉树

   处理(二叉树)
   {
       if(二叉树为空) 直接处理;
       else
       {
           处理根节点;
           处理左子树;=> 递归
           处理右子树;=> 递归
       }
   }

typedef struct Node
   {
       int data;//数据内容
       struct Node* left;//指向左子树
       struct Node* right;//指向右子树
   }Node;

遍历方式

(1)先序遍历 => 根   左子树   右子树

(2)中序遍历 => 左子树  根  右子树

(3)后序遍历 => 左子树  右子树  根

有序二叉树

左子树节点 <= 根节点  <= 右子树节点

主要搜索和查找数据的功能中

接下来我们来看看二叉树的各类操作的实现:

//实现有序二叉树的各种操作
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
//定义节点的数据类型
typedef struct Node
{
	int data;//存储数据内容
	struct Node* left;//左子树的地址
	struct Node* right;//右子树的地址
}Node;
 
//定义有序二叉树的数据类型
typedef struct
{
	Node* root;//记录根节点的地址
	int cnt;//记录节点的个数
}Tree;
 
//实现向有序二叉树中插入新节点的操作
void insert_data(Tree* pt,int data);
//插入新节点的递归函数
void insert(Node** pRoot,Node* pn);
//采用中序遍历方法进行遍历
void travel_data(Tree* pt);
//遍历的递归函数
void travel(Node* pRoot);
//实现创建新节点
Node* create_node(int data);
//实现清空树中的所有节点
void clear_data(Tree* pt);
//实现清空的递归函数
void clear(Node** pRoot);
//实现查找一个指定的节点
Node** find_data(Tree* pt,int data);
//查找的递归函数
Node** find(Node** pRoot,int data);
//实现删除指定的节点
void del_data(Tree* pt,int data);
//修改指定元素的操作
void modify(Tree* pt,int data,int new_data);
//判断二叉树是否为空
int empty(Tree* pt);
//判断二叉树是否为满
int full(Tree* pt);
//计算二叉树中节点的个数
int size(Tree* pt);
//获取根节点的元素值
int get_root(Tree* pt);
 
int main(void)
{
	//创建有序二叉树，并且进行初始化
	Tree tree;
	tree.root = NULL;
	tree.cnt = 0;
	//插入新节点，进行遍历
	insert_data(&tree,50);
	travel_data(&tree);//50
	insert_data(&tree,70);
	travel_data(&tree);//50 70
	insert_data(&tree,20);
	travel_data(&tree);//20 50 70
	insert_data(&tree,60);
	travel_data(&tree);//20 50 60 70
	
	printf("------------------\n");
	//clear_data(&tree);
	travel_data(&tree);//20 50 60 70
	del_data(&tree,50);
	travel_data(&tree);//20 60 70
	del_data(&tree,30);//删除失败
	travel_data(&tree);//20 60 70
	del_data(&tree,20);
	travel_data(&tree);//60 70
 
	printf("--------------------\n");
	modify(&tree,10,20);//插入20
	travel_data(&tree);//20 60 70
	printf("二叉树中根节点的元素是：%d\n",get_root(&tree));//70
	printf("二叉树中节点的个数是：%d\n",size(&tree));//3
	printf("%s\n",empty(&tree)?"二叉树为空":"二叉树不为空");
	printf("%s\n",full(&tree)?"二叉树已满":"二叉树没有满");
	return 0;
}
 
//修改指定元素的操作
//旧元素不存在时，直接插入新元素即可
void modify(Tree* pt,int data,int new_data)
{
	//1.删除旧元素
	del_data(pt,data);
	//2.插入新元素
	insert_data(pt,new_data);
}
//判断二叉树是否为空
int empty(Tree* pt)
{
	return NULL == pt->root;
}
//判断二叉树是否为满
int full(Tree* pt)
{
	return 0;
}
//计算二叉树中节点的个数
int size(Tree* pt)
{
	return pt->cnt;
}
//获取根节点的元素值
int get_root(Tree* pt)
{
	if(empty(pt))
	{
		return -1;//表示失败(以后讲到)
	}
	return pt->root->data;
}
 
//实现删除指定的节点
void del_data(Tree* pt,int data)
{
	//1.查找目标元素所在节点的地址
	Node** pp = find_data(pt,data);
	//2.判断查找失败情况,不需要删除
	if(NULL == *pp)
	{
		printf("目标元素不存在，删除失败\n");
		return;
	}
	//3.合并左右子树,左子树插入到右子树中
	if((*pp)->left != NULL)
	{
		//左子树不为空时，需要插入到右子树中
		insert(&(*pp)->right,(*pp)->left);
	}
	//4.寻找指针记录要删除的节点地址
	Node* q = *pp;
	//5.将原来指向要删除节点的指针 重新指向 合并之后的右子树
	*pp = (*pp)->right;
	//6.删除目标元素所在的节点
	free(q);
	q = NULL;
	//7.节点个数减1
	pt->cnt--;
}
 
//查找的递归函数
Node** find(Node** pRoot,int data)
{
	//1.判断二叉树是否为空，为空直接返回
	if(NULL == *pRoot)
	{
		return pRoot;//&pt->root;
	}
	//2.比较根节点元素和目标元素的大小，如果相等，直接返回
	if(data == (*pRoot)->data)
	{
		return pRoot;//&pt->root;
	}
	//3.若目标元素小于根节点元素值,左子树查找
	else if(data < (*pRoot)->data)
	{
		return find(&(*pRoot)->left,data);
	}
	//4.若目标元素大于根节点元素,去右子树查找
	else
	{
		return find(&(*pRoot)->right,data);
	}
}
 
//实现查找一个指定的节点
//返回 指向目标元素所在节点的指针 的地址
Node** find_data(Tree* pt,int data)
{
	//调用递归函数实现查找
	return find(&pt->root,data);
}
 
//实现清空的递归函数
void clear(Node** pRoot)
{
	//判断二叉树是否为空
	if(*pRoot != NULL)
	{
		//1.清空左子树
		clear(&(*pRoot)->left);
		//2.清空右子树
		clear(&(*pRoot)->right);
		//3.清空根节点
		free(*pRoot);
		*pRoot = NULL;
	}
}
 
//实现清空树中的所有节点
void clear_data(Tree* pt)
{
	//调用递归函数实现清空
	clear(&pt->root);
	//二叉树的节点个数清零
	pt->cnt = 0;
}
 
//实现创建新节点
Node* create_node(int data)
{
	Node* pn = (Node*)malloc(sizeof(Node));
	pn->data = data;
	pn->left = NULL;
	pn->right = NULL;
	return pn;
}
 
//遍历的递归函数
void travel(Node* pRoot)
{
	//判断二叉树不为空时才需要遍历
	if(pRoot != NULL)
	{
		//1.遍历左子树
		travel(pRoot->left);
		//2.遍历根节点
		printf("%d ",pRoot->data);
		//3.遍历右子树
		travel(pRoot->right);
	}
}
 
//采用中序遍历方法进行遍历
void travel_data(Tree* pt)
{
	//调用递归函数进行遍历
	travel(pt->root);
	//打印换行
	printf("\n");
}
 
//插入新节点的递归函数
void insert(Node** pRoot,Node* pn)
{
	//1.判断二叉树是否为空,如果为空则让根节点指针直接指向新节点
	if(NULL == *pRoot)
	{
		*pRoot = pn;
		return;
	}
	//2.如果二叉树非空,比较根节点和新节点大小
	//2.1 如果根节点大于新节点，插入左子树
	if((*pRoot)->data > pn->data)
	{
		insert(&(*pRoot)->left,pn);
	}
	//2.2 如果根节点小于等于新节点,插入右子树
	else
	{
		insert(&(*pRoot)->right,pn);
	}
}
 
//实现向有序二叉树中插入新节点的操作
void insert_data(Tree* pt,int data)
{
	//1.创建新节点，进行初始化 create_node
	//Node* pn = (Node*)malloc(sizeof(Node));
	//pn->data = data;
	//pn->left = NULL;
	//pn->right = NULL;
	//2.插入新节点到二叉树中,调用递归函数
	insert(&pt->root,create_node(data));
	//3.二叉树中节点个数加1
	pt->cnt++;
}

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