PID微分器与滤波器的爱恨情仇
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0 前面的话
这篇文章肝了好久，控制有时候给人的感觉是披着数学外衣的，但是脱下外衣，发现还是控制，本文有一些基本的推导，无非是为最后的算法C实现做铺垫，最终目的是能在实践中进行应用和系统调优。
这首歌是赵小雷在参加访谈节目录制过程中即兴演唱的作品，但这个无心之举却受到了众多听众的喜爱，包括我，推荐给大家。
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0 前面的话
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1 先说噪声
2 噪声对于系统的影响
3 对于PID控制器的影响
4 加入滤波器
4.1 传递函数
4.2 串联微分的等效形式反馈积分
5 C语言实现
6 参考
1 先说噪声
在电子设备等电路系统中，噪声是不被系统需要的电信号；电子设备产生的噪声会由于多种不同的影响而产生很大的差异。在通信系统中，噪声是一个错误或不希望出现的随机干扰从而作用于有效的信号。
2 噪声对于系统的影响
噪声出现的第一个场景，当我们在教室里做英语听力，然后旁边的同学手机忽然来了一条短信，这时候往往可以听到放英语听力的喇叭会被干扰，然后会发出哔哔哔的声音；
下面是一个正弦信号跌加噪声的例子，在原始信号上叠加一定幅度的高斯噪声，可以看到信号不再像原来的正弦信号那样完美，具体如下图所示；
或者，很久很久以前，数字电视还没有普及，那时候的显像管的黑白电视，也容易出现这样的雪花一样的噪声，叠加在图片上就会出现这样的效果，具体如下图所示；
从上述的例子中可以看到，噪声往往会对系统造成一定程度的影响，但是如果噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现。
下面做一个实验；在一张黑色图片上叠加幅度很小幅度的高斯噪声；从第二张图片中发现噪声没有影响到整体图片；
然后我尝试提高了整幅图片的亮度，发现，噪点便开始出来了，这像极平时那些枪版影片的马赛克画质；整体的实验结果如下图所示；
3 对于PID控制器的影响
既然噪声的幅度减小到一定程度，对于系统的影响可能就没有那么容易被发现，那么对理想的PID控制器又有什么影响呢？
不要忘了，在理想PID控制器中，微分控制器会对偏差的变化率（斜率）进行累加，从而产生积分器的输出；
对于微分器来说，即使噪声幅度足够小，但是只要达到足够高频率，偏差的变化率一样可以变得很大，下面举个例子；
这里有一个固定频率 和赋值 的噪声为信号1，这个信号可以表示为：
于是我们尝试将信号1的幅度减半，频率变为原来的两倍，得到了信号2：
以此类推，在信号2的基础上，幅度再减半，频率乘以2，得到信号3：
简单画了一下这个信号，具体如下图所示；
假设分别取三个信号位于 该点的斜率，从图中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，简单验证一下，在 时刻，可以得到：
所以这里就是求复合函数的微分，由于选取的点比较特殊，发现最终计算得到的结果 ，因此也可以发现，即使减小了噪声的幅度，但是对于较高频率的噪声，依然会产生较大斜率。
遇到高频噪声，那么微分器会产生较大的输出，从而最终对系统造成影响，这是我们不希望出现的结果，因此在反馈回路中并不希望高频噪声进入PID控制器的计算，这里就需要低通滤波器将噪声滤除。
4 加入滤波器
低通滤波器可以滤除高频信号，这样保留了有效信号，可以设置所需的截止频率；系统处理有效信号，由于低频部分信噪比较高，因此噪声对于系统的影响较小，而高频部分，信噪比就很低，这时候对于系统来说，噪声就会造成不小的影响，具体如下图所示；
信噪比：有效信号和噪声的比值，英文名称叫做SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)；
所以下面我们会在PID控制器的微分部分加入低通滤波器，这样对反馈的信号进行一部分处理，从而减小系统干扰，如下图所示；
4.1 传递函数
概念：拉普拉斯变换是对于 函数值不为零的连续时间函数 通过关系式 (式中 为自然对数底 的指数)变换为复变量 的函数 。它也是时间函数 的“复频域”表示方式。
也就是说拉式变换可以将时域关系变换到频域中，这样可以便于系统进行分析。
下面是本文下面会用到的时域函数对应的拉普拉斯变换：
-
积分： -
微分： -
低通滤波器的传递函数：
低通滤波器中的截止频率即为 ，单位是 ；
4.2 串联微分的等效形式反馈积分
串联等效传递函数的关系为，两个方框串联等于各个方框传递函数的乘积；具体如下所示；
因此低通滤波串联微分的传递函数为：
闭环负反馈的等效传递函数的关系如下所示；
这里我们可以使用负反馈积分的方式，构建等效于串联微分的传递函数，最终的传递函数结果是相同的，具体如下图所示；
串联微分的形式，可能在算法的实现上会更加直观，但是会比较费资源；
使用负反馈积分的等效形式进行实现，则进一步减少了算法的资源消耗，下面给出一个TI公司的PID算法实现就是通过负反馈积分的等效形式进行实现的。
5 C语言实现
这里直接使用了TI公司的PID算法，对于微分部分做了滤波的处理，并且使用的是负反馈积分的方式， 具体可以参考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.hPID控制器的整体框图如下所示，我们只关心微分部分；
首先可以发现 满足：
这里滤波器有两个系数 和 ，它们必须满足截止频率 （单位Hz）和采样周期 （单位秒）以下的关系：
C语言实现如下：
/* =================================================================================
File name: PID_GRANDO.H
===================================================================================*/
#ifndef __PID_H__
#define __PID_H__
typedef struct { _iq Ref; // Input: reference set-point
_iq Fbk; // Input: feedback
_iq Out; // Output: controller output
_iq c1; // Internal: derivative filter coefficient 1
_iq c2; // Internal: derivative filter coefficient 2
} PID_TERMINALS;
// note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words
typedef struct { _iq Kr; // Parameter: reference set-point weighting
_iq Kp; // Parameter: proportional loop gain
_iq Ki; // Parameter: integral gain
_iq Kd; // Parameter: derivative gain
_iq Km; // Parameter: derivative weighting
_iq Umax; // Parameter: upper saturation limit
_iq Umin; // Parameter: lower saturation limit
} PID_PARAMETERS;
typedef struct { _iq up; // Data: proportional term
_iq ui; // Data: integral term
_iq ud; // Data: derivative term
_iq v1; // Data: pre-saturated controller output
_iq i1; // Data: integrator storage: ui(k-1)
_iq d1; // Data: differentiator storage: ud(k-1)
_iq d2; // Data: differentiator storage: d2(k-1)
_iq w1; // Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]
} PID_DATA;
typedef struct { PID_TERMINALS term;
PID_PARAMETERS param;
PID_DATA data;
} PID_CONTROLLER;
/*-----------------------------------------------------------------------------
Default initalisation values for the PID objects
-----------------------------------------------------------------------------*/
#define PID_TERM_DEFAULTS { \
0, \
0, \
0, \
0, \
0 \
}
#define PID_PARAM_DEFAULTS { \
_IQ(1.0), \
_IQ(1.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(1.0), \
_IQ(1.0), \
_IQ(-1.0) \
}
#define PID_DATA_DEFAULTS { \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(1.0) \
}
/*------------------------------------------------------------------------------
PID Macro Definition
------------------------------------------------------------------------------*/
#define PID_MACRO(v) \
\
/* proportional term */ \
v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk; \
\
/* integral term */ \
v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1, \
(v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1; \
v.data.i1 = v.data.ui; \
\
/* derivative term */ \
v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1, \
(_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2;\
v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1; \
v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2); \
\
/* control output */ \
v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp, \
(v.data.up + v.data.ui + v.data.ud)); \
v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin); \
v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);\
#endif // __PID_H__
6 参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter
自动控制原理 第五版 胡寿松 P47
虽然写的不一定是最好，但是每一个字、每一个公式都是用心码的，每一张图都是用心画的，每一句话都是加入了自己的理解，如果帮到了你，请无情三连吧；另外笔者能力有限，文中难免存在错误和纰漏，望轻拍指正。
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