如何快速算出一个数的n次方？

投稿作者 OIer，目前对计算机及算法的了解主要在信息学竞赛方面。

本文主要讲解平方求幂（快速幂）相关，凡涉及大整数，都会进行对定值取模等处理，所以存储越界导致的错误、位数过多导致的单次运算缓慢的问题，不在考虑范围之内。

“幂”在许多地方常被用到，如 Hash 相关、费马小定理、进制转换等。

一般来说，我们要求 ，只需要将 乘 次即可，时间复杂度为 。

但有时， 极大，这种方法需要的时间开销是不可接受的。

比如，求 。

如果我们直接计算多个这样的式子，至少在目前主流计算机中，所用时间以分钟计。

我们考虑如何优化对 的计算。

以计算 为例。

我们发现，，所以我们可以先计算出 ，再计算 。

于是我们想到一种方法：先计算 ，

再计算 。

这样，我们就可以通过把 分解为约 个大小为 的块，将时间复杂度由 降为 。

事实上，如果递归下去，这个做法可以做到 ，但常数较大，经测试速度约为下面两种做法的 。

我们仍然以 为例，考虑一下 可以表示成什么。

我们考虑 ，于是我们考虑通过 的值求出 。设 ，有：

这样我们就可以写出一份递归的伪代码：

function power(a, n):
 if n = 0 then return 1
 t := power(a, (n - n mod 2) / 2)
 if n mod 2 = 1
 then: return t^2 * a
 else: return t^2
每次将数据规模缩小为原来的一半，这种方法的时空复杂度是 。

接下来仍然以计算 为例，假设你什么也不知道，只会由小向大计算，那么：

第一次乘法，只能计算 。

第二次，考虑得到尽量大的值，于是计算得 。

第三次，进一步，。

我们发现，第 次可以得到 。

。

……

第 次，

第 次，。

第 次，。

第 次，。

先计算存储下来再求值，不失为一种好方法；但亦可以在计算 的同时判断 分解为 的幂（即转为 进制）后是否含 ，边计算边乘。

形式化地，对于 位，其代表的幂 为 （）。

这样，我们由低位向高位计算，每次将底数平方即可。

下面两份伪代码，分别对应这种方法的如上两种实现。

function power(a, n):
 pow[0...log n], pow[0] := 1
 for i: 1 to inf
  if (2^i > n) break
  else pow[i] = pow[i - 1]^2
 res := 1
 for i: 1 to inf
  if (2^i > n) break
  else:
   if (n bitand 2^i) res = res * pow[i]
 return res
# n bitand 2^i 可理解为 n 在二进制表示下含 2^i 位
function power(a, n):
 res := 1, p := a
 while n > 0:
  if (n bitand 1) then res = res * a
  p = p^2, n = n >> 1
 return res
# bitand 表示按二进制位与，>> 表示按二进制位右移（可理解为除以 2 下取整）。
这样的时间复杂度仍为 ，空间复杂度为 。

这种方法，就是平方求幂，也叫快速幂。

在一些其他的地方，也会用到这种思想。

比如：求 ，。

要知道，绝大部分语言中，能存储的最大整数都只是 。如果我们直接计算，可能会自然溢出造成答案错误。

这时，我们就想到平方求幂的思想。

我们考虑，，于是我们考虑通过 求出 。即：

function times(a, b, m):
 if b = 0 then return 0
 t := times(a, (b - b mod 2) / 2, m)
 if b mod 2 = 1
 then: return ((t   t) mod m   a mod m) mod m
 else: return (t   t) mod m
同样地，也可以对 进行二进制拆分。

function power(a, b, m):
 res := 0
 while b > 0:
  if (b bitand 1) then res = (res   a) mod m
  a = (a   a) mod m, b = b >> 1
 return res
# bitand 表示按二进制位与，>> 表示按二进制位右移（可理解为除以 2 下取整）。
这样，我们用 的时间复杂度算出了大数乘积取模的值。俗称“龟速乘”。

事实上，平方求幂的思想，在任何具有结合律的、参与运算的数据相同的运算中，都可以使用。

如矩阵乘法等。

好了，快速求幂的方法就讲到这里，如果对你有哦帮助，欢迎点赞哦~~