基于WVD的LFM信号检测方法研究

引言

线性调频信号(linear frequency modulation,LFM)被广泛 应用于通信、雷达、声呐等系统中，是一种特殊的非平稳信号％ 时频分析是对该类信号进行分析的常用方法。

时频分析是近年来兴起的用于非平稳信号分析的重要工 具。时频分析将一维的时域信号和频域信号映射到二维时频 平面上，获得信号的联合时频分布，在时频域区分别提取各 信号分量［2Io魏格纳-维尔分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)是描述信号时频分布的一个有力工具，是处理非平稳 信号的一种最基本、应用最多的时频分布。

由于LFM信号的WVD为时频面上的一条直线，所以在 时频域中对LFM信号的检测问题可以等价为图像处理中的直 线检测问题。Hough变换是图像处理中一种常用的直线检测 方法叫 将WVD与Hough变换相结合，在时频平面沿LFM信号的WVD能量分布直线进行积分，即得到维格纳-霍夫变 换(Wigner-Hough Transformation， WHT)。

本文利用WVD和WHT对单、两线性调频信号进行了 检测，并对这两种时频分析方法进行了分析和比较。

1 Wigner-Ville分布及几种变型

Wigner-Ville分布是一种最基本、也是应用最广的时频 分布，它是众多时频分析技术的基础和核心，后续许多时频 技术都是对WVD的改善或者说是为克服交叉项而做的各种 努力。信号x(t)的Wigner-Ville分布记为闵:

式 (1) 是信号能量域的时频表示，以时间 t 和频率 f 为自变量。实际应用中信号 x(t) 一般是实信号，而实信号的频谱除了正频部分，还存在负频率成分，因此信号在做时频分析一般将信号转化为解析形式，比如通过希尔伯特变换。Wigner-Ville 分布的频域形式记为 ：

Wigner-Ville 分布出现后，在许多领域得到实际应用。人们针对不同的实际需要，对其做了某些改善，从而催生了一系列新的时频分布。到 20 世纪 60 年代，时频巨匠 Cohen 经过大量研究发现，众多的时频分布只是 Wigner-Ville 分布的变形，它们可以用统一的形式表示，而不同的时频分布只是体现在核函数 ( 窗函数 ) 不同而已。

Cohen 类时频分布的统一表达形式 ：

式中，{ x( ,v)称为核函数，或者理解为加在原 Wigner-Ville 分布上的窗函数。当窗函数{ x( ,v) = 1时，式 (3) 就还原为普通的 Wigner-Ville 分布了。当核函数{ x( ,v)取不同的表达式，就可得到众多不同类型的时频分布。虽然 Wigner-Ville 分布具有许多期望的优良数学性质而备受学界推崇，但由于本身固有的双线性特性，造成多分量信号分析时存在交叉项干扰。对核函数进行特定的设计和约束，就能达到对交叉项的某种程度上的抑制或削弱。

如果直接令核函数为一个具体的时间函数 ( , ) (){ x v hx=，得到准 Wigner 分布 (Pesudo-Wigner Distribution，PWD)，其形式如下：

Wigner 分布中，时间窗函数在 Wigner-Ville 分布的频域方向进行了平滑。若要同时对时域方向进行平滑，则需同时加上一个频域窗函数，即令 ( , ) () ( )v hg v{ xx=，得到的是平滑 伪 Wigner 分 布(Smoothly Pesudo-Wigner Distribution，SPWD)：

2WHT 变换检测方法及性能分析

对于离散的有限图像来说，Hough 变换核心思想是将所有的线条参数组成的参数空间量化为有限的参数表。Hough变换将笛卡儿坐标系中的观测数据 (x,y) 变换到参数空间中的坐标 (ρ,θ)，即 ：

式 中， i ! [ , 0 180c]。 当 对 信 号 的 Wigner-Ville 分 布 进 行Hough 变换，可以获得一种新的变换，即为 WHT 变换。WHT 变换与 Wigner-Ville 分布相比，可有效抑制噪声和交叉项。能量有限信号 x(t) 的 Wigner-Hough 变换记为 ：

其中，“*”表示复共轭，式 (7) 也可表示为 Wigner-Ville 分布Wx(t,v) 的线积分形式 ：

对信号 x(t) 进行 N 点离散采样，WHT 变换的离散形式为：

当 x(n)为一线性调频信号时，由式(9)可得其 WHT 的峰值为 N2A2 /2，对应的坐标为 (f0, g0)。因此，可通过检测信号 WHT 的峰值来实现对 LFM 信号的检测。对于高斯白噪声背景下 LFM 信号的 Wigner-Hough 变换检测方法，其步骤为 ：

(1) 计算接收信号的 Wigner-Ville 分布。

(2) 对 Wigner-Ville 分布的结果，进行 Hough 变换。

(3) 寻找 WHT 的峰值，并与给定的门限进行比较。若超过门限，则认为 LFM 信号存在 ；否则，认为不存在。

LFM 信号 x(t) 经过高斯白噪声信道后，输出信号为r(t)=x(t)+v(t)，其中 v(t) 为高斯白噪声。对接收信号进行 N 点采样后，设 WHT 的离散输出信噪比为 ：

x(n) 的 WHT 峰值为 N2A2 /2，因此，WHT 输出信号的功率为 ：

设噪声 v(t) 的方差为nd2，则LFM 信号经过高斯白噪声信道前的 WHT 信噪比为 ：

含有高斯噪声的 LFM 信号 r(t) 的离散 WHT 均值为 ：

根据零均值复高斯随机变量的矩性质，可得 WHx+v(f0+g0)的二阶矩为 ：

3 性能仿真与分析

为验证该方法的性能，这里在 Matlab 仿真环境下，使用该方法对 LFM 信号进行了仿真检测。LFM 信号的归一化频率范围为 [0，0.5]，在信噪比为 1 dB 情况下，单线性调频信号的 Wigner-Ville 分布的等高线图与三维图如图 1 所示。

由图 1 可以看出，单线性调频信号的 Wigner-Ville 分布受噪声干扰较为严重，产生了较为严重的交叉项干扰，在三维图中干扰尤为严重。单线性调频信号 Wigner-Hough 分布的等高线图与三维图如图 2 所示。

通过比较 Wigner-Ville 分布和 Wigne-Hough 变换的仿真结果可见，后者在抑制交叉项方面有明显效果。从三维图中可以看出，该信号的 Wigne-Hough 变换在 (ρ, θ) 平面上有一个明显的峰值，从而实现了 LFM 信号的准确检测。为进一步分析两种方法的性能，这里产生了频率范围分别为 [0，0.4] 和[0.3，0.5] 的两线性调频信号，在信噪比为 1 dB 的情况下，其Wigner-Ville 分布的等高线图与三维图如图 3 所示。

由图 3 可见，此时交叉项干扰更为严重。在图 3(a) 中，交叉项也构成了一个较为明显的 LFM 信号项。图 3(b) 则产生了较多峰值，基本无法实现 LFM 信号的检测。两线性调频信号Wigner-Hough 变换的等高线与三维图分别如图 4 所示。

由图 4(b) 可见，信号的 Wigner-Hought 分布在 (ρ, θ) 平面上有两个明显的峰值，它分别表征了两个线性调频信号。通过对两种 LFM 信号的处理结果比较可见，Wigner-Hough 变换有限抑制了交叉项的干扰。

4 结 语

对 LFM 信号处理的两种常用方法 Wigner-Ville 分布和Wigner-Hough 变换进行了总结，推导了 Wigner-Hough 变换前后信号的信噪比公式。在 AWGN 背景下，利用两种变换分别对单线性调频信号和两线性调频信号进行了检测，给出了其变换的等高线图和三维图。仿真结果表明，与 Wigner-Ville 分布相比，Wigner-Hough 变换在低信噪比和多干扰信号两种情况下，均具有较好的干扰项抑制性能。

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