基于 MATLAB 的简谐振动合成图形的动态演示

0 引言

简谐振动的合成是力学的主要内容之一，在大学物理的学习中已经对多个同频率简谐振动的合成进行了较为详细的讨论，但研究仅局限于两、三个不同频率简谐振动在一、二维坐标中的合成情况，三维无法体现。利用MATLAB 绘出多不同频率简谐振动在一、二及三维坐标中合成的波形及轨迹， 并依据这些波形与轨迹， 探讨多个不同频率简谐振动的合成规律。

1 研究意义

利用MATLAB GUI 软件的制作，对一维、二维及三维简谐振动的授课方式及仿真实验提供了新的方法。在传统教学的过程当中，简谐振动的合成通过示波器来观察，其合成图像往往与理论值有较大偏差，其主要存在的问题有以下几个方面：

1.1 课堂时间紧迫，图像合成演示的直观显示多要在实验课当中进行操作，不利于学习的及时记忆和直观了解。

1.2 电路布线不合理引起的交叉干扰、电感漏磁容易引起合成图像失真。

1.3 示波器无法合成及演示三维简谐振动的合成图像。

1.4 示波器探头种类繁多，对于精确的理论图形的演示难以企及，且探头可提供测试需要的保真度往往较低。

1.5 对于简谐振动合成的计算比较复杂，示波器无法高精度的实现图形的模拟合成。

针对以上问题制作的MATLAB GUI 简谐振动合成的程序，能帮助授课教师在课堂上直观的演示简谐振动的合成，直观对比理论测量与实际测量。

2 基本原理

2.1 一维简谐振动合成原理

2.1.1 多个一维同频率简谐振动的合成

设质点在x 方向上同时参与n 个同频率简谐振动，振动方程为：

分别为和振动的振幅和初相位，由(1)式可知多个一维同频率简谐振动可合成为一个同频率的简谐振动，其轨迹是余弦(或正弦)曲线。利用MATLAB 进行合成演示，上述推证可得到证实。

2.1.2 多个一维不同频率简谐振动的合成

一般情况下，多个不同频率简谐振动的合振动不再是简谐振动，而是复杂的运动。利用MATLAB 进一步研究可知，多个一维频率比为有理数简谐振动的合振动虽然复杂但具有周期性，而多个一维频率比为无理数简谐振动的合振动则既复杂又无周期性。

由图1 可知，多个一维同振幅、同相位频率相差不大简谐振动的合成，其结果形成多个大小不一的拍。进一步研究可知，多个一维同振幅、同相位频率相差不大简谐振动的合振动是这些简谐振动两两合成的幅度减小的拍的叠加，其结果形成n -1个大小不一的拍--多拍现象。其中，主拍的拍幅很大(为单个简谐振动振幅的n 倍)，而次拍的拍幅则比较小。

2.2 二维简谐振动的合成-李萨茹图形

2.2.1 相互垂直同频率简谐振动的合成

当一个质点同时参与两个不同方向的振动时，一般情况下质点将做平面曲线运动，其运动轨迹的形状将由两个分振动的周期、振幅和它们的相位差决定。沿两个振动的方向分别建立x,y 轴，并以质点的平衡位置作为坐标原点，则这两个分振动可分别表示为：

在t 时刻，质点的位置可由坐标x,y 确定。上述方程是以时间t 作为参变量的运动轨迹的参数方程，从中消去t ,便得轨迹方程：

此式是椭圆方程，它表示两个相互垂直且同频率的简谐振动合成的轨迹是椭圆。随着相位差值的不同，合成椭圆的形状也不同。

2.2.2 相互垂直不同频率简谐振动的合成

如果两个相互垂直的振动频率不相同，它们的合运动比较复杂，若随意选取两种分振动，可以看到合成轨迹是不稳定的，而且没有规律可循。

(1)两振动的频率有很小的差异，可近似看成同频率振动的合成，不过相位差在缓慢地变化，在范围内由直线变成椭圆再变成直线等。[!--empirenews.page--]

(2)如果两振动频率相差较大，但有简单整数比，则合成运动有稳定封闭的运动轨迹，称为李萨如图形，其形状与互相垂直的分振动的角频率之比、各自初相位以及初相位差都有关系。图2 为两振动的频率有简单的整数比，合成运动为李萨如图形。运行中可以看到以质点运动轨迹的方式呈现的动画。

2.3 三维简谐振动的合成

设分别沿z、y 和z 向的频率不同的简谐振动的表达式为：

此方程组就是合运动轨迹的参数方程。

设x、y 和z 向振动满足频率比为整数比：

其中 n1 , n 2为不可约的整数， n1 和n 3为不可约的整数，那么存在：

T=nT1其中1 T 是x 方向的振动周期，n 是1 n 和2 n 的最小公倍数，T就是(1)式描述的空间曲线的参数周期，也就是上述曲线为闭合曲线。以x、y 和z 为坐标的空间点在时间T 内完成闭合曲线的一次扫描，然后重复扫描，这就是三维李萨如曲线。如果不满足(2)式，那么(1)式描述的曲线不是闭合曲线[8].

利用MATLAB 进行三维简谐振动的合成，得到图3.可看出，当分振动为简单整数比时，三维合成的图像也有类似李萨茹图像的情况。

3 GUI 界面及仿真流程

利用MATLAB 制作的用户界面人工操作，用户通过主页面选择所需功能，进入各功能页面后完成各函数读取目标，完成函数识别与图像的合成。整个仿真实验的流程如图4.

4 结束语

该实验通过MATLAB 制作，利用MATLAB 作为仿真平台，动态显示多个不同频率的简谐振动、互相垂直的不同频率的两个简谐振动、三维简谐振动的合成，让学生能在计算机上形象直观的认识并掌握三维的简谐振动的合成图象，尤其是多个、稍大频率的李萨如图形的合成，得出大频率李萨如图形仿真实验图象。