快速小波变换的定点DSP实现

1 引言
    小波变换是近年来发展起来的一种数学理论和方法。作为一种新兴的理论，小波分析是数学发展史上的重要成果，对工程应用产生了深远的影响。广泛应用于语音信号处理、图像信号处理、信号检测、语音与图像编码、多尺度边缘提取与重建等领域。近年来，在电力系统中也开始应用小波分析进行故障检测及故障定位，并取得了有效的成果。
    计算机只能处理数字信号，所以在实际信号处理中，常采用离散形式的小波变换(Discrete Wavelet Transform，DWT)。由于小波变换算法的复杂性，尽管当今处理器芯片运算速度得到了大幅度的提高，仍然在实时性上不能满足要求。为了简化计算过程，人们发展了一些快速算法，如Mallat塔式算法，及利用调频Z变换(chirped Z Transform，CZT)，梅林变换(Mellia Transform)进行快速计算等算法。其中，尤其以Mallat塔式算法在实际应用比较广泛。
    在数字信号处理领域，通常使用专用的数字信号处理器芯片(DSP)以完成特定的运算要求。美国TI公司是全球最大的DSP供应商，其生产的TMS320C2xx系列16位定点DSP芯片具有高性能、低价格等特点，具有广泛的应用领域。本文中用该系列DSP芯片实现小波变换的快速算法。
    本文将小波变换快速算法用DSP加以实现，既可利用小波变换实现应用要求，又可降低成本，增强市场竞争力。尤其在当今，随着电力系统的不断发展，及用户对电能质量的要求越来越高，对电力系统运行监控及保护的采样点数越来越多的情况下，利用此方法可以解决运算量大、运算精度高的问题。
2 小波变换及算法
2.1 小波变换
    小波函数的确切定义为：
    设ψ(t)为—平方可积函数，若其傅里叶变换ψ(ω)满足条件

    则称ψ(t)为一个基本小波或小波母函数。将其进行伸缩和平移后，得到小波基函数

    所谓小波变换就是把信号在上述小波基下进行展开。当然，此变换必须存在逆变换，否则，不能恢复原信号，该变换就没有什么意义了。
2.2 多分辨率分析
    多分辨率分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位，在多分辨率分析理论产生之前，人们构造正交小波基函数要凭借技巧，具有一定的难度。自从有了多分辨率分析理论，这项工作变得容易的多。当然，要寻找合适的基函数还是需要一定的经验的。当找到了合适的滤波器系数后，就可以利用Mallat给出的快速小波算法来计算小波变换了。
    通俗的讲，多分辨率分析就是把空间V0上的函数f(t)分解为细节部分W1(小波空间)和大尺度逼近部分V1(尺度空间)，然后将大尺度逼近部分V1进一步分解，如此重复就可得到任意尺度(或分辨率)上的逼近部分和细节部分。
2.3 滤波器系数
    根据多分辨率分析理论，如果φ(t)，ψ(t)分别为尺度空间V0及小波空间W0的一个标准正交基函数，则在任意相邻尺度j，j-1之间，都有二尺度空间基函数关系

其中的h(n)，g(n)即为滤波器系数，由尺度函数φ(t)和小波系数ψ(t)决定。
2.4?Mallat塔式算法
    当有了一组小波基函数后，剩下的事就是计算分解了，即把信号用小波基函数表示出来，从而关键问题是求出表示式中的系数。根据多分辨率分析，将信号f(t)□Vj-1分解一次(即分别投影到Vj、Ｗj空间)，此时cj,k和dj,k为j尺度上的展开系数，经过不算复杂的推导，可得

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其中cj,k和dj,k分别称为j尺度空间的剩余系数和小波系数，上式说明它们可由j-1尺度空间的剩余系数cj-1，k经滤波器系数进行加权求和得到。实际中的滤波器h，g的长度都是有限长的或近似有限长的，因此分解运算非常简单。将cj,k进一步分解下去，可分别得到Vj+1、Wj+1空间的剩余系数Cj+1，k和小波系数dj+1,k

    从而得到任意尺度空间上的分解。分解过程如图所示

    在上述算法中必须要有一个初始输入序列Cj-1，k，分解才能顺利进行，这是一个问题。在大多数应用中，为了简便，常用输入信号的采样序列来近似作为C0，k。在一些文献里也给出了其它几种确定C0，k的方法。
3?算法在DSP上的实现
    假设输入信号x(t)，采样频率N(=2n)，得采样序列x(k)，k=0，…，N-1，作为初始输入序列C0，k。滤波器系数h(m),g(m)，m=0，…，L-1。为了应用简便，(1)、(2)式可变为

    从第一个尺度j=1开始，求出滤波器系数与剩余系数的加权和，分别得到cj,k与dj,k，并且它们的长度均为N／2。依次求出j=2，3，…各尺度值，cj,k与dj,k的长度也将变为N／4,N／8,…。应注意到，滤波器系数序列与输入信号序列相乘时，各个系数依次相乘然后累加即为cj,k或dj,k值。计算完一个后，要将滤波器系数序列向后移两个位置，再与输入信号相乘。最后，只剩下两个值时，再从第一个位置继续，从而构成一个圆周形式，得到最后一个cj,k与dj,k。以j=1为例来说明这一点。

    同样，可得d1,N/2-1。?
    在TMS320C2xx系列定点DSP中，并未提供直接实现上述算法的寻址方式，可以利用循环指令实现。其中，要用到的两条重要指令是MAC(乘累加指令)和RPT(重复指令)。MAC指令是DSP指令中最有特色的指令之一，当RPT流水线启动后，通过MAC指令可以在单指令周期内实现乘加操作。算法的关键是一个卷积计算，其过程用如下几条语句即可实现。假设程序存储器地址0xFF00h开始，存放了小波滤波器系数h(k)，k=0，1，2，…,L-1的值，从0xFF80h开始，存放了小波滤波器系数g(k)，k=0，1，2，…，L-1的值。数据寄存器地?址0x1000h(用cc表示)开始，存放输入信号。计算c1，k程序如下
        RPTL-1
        MAC0FF00h，cc+2*k
    下面简要介绍一下单个尺度上的计算过程。仍假设输入信号为N点采样值，小波滤波器长度为L。
    由于有上述圆周形式的循环算法，直接计算所有值会有很多不便，因此将整个过程分为两部分。第一部分，保存c0，k(k=N-2,N-1，0，1，2，…，L-3)到一连续存储空间，然后计算k＜N／2-L时的d1，k的值，并保存到临时存储空间datad(需要N个单元)中。第二部分计算k=N／2-L,…,N／2-1时的d1，k的值，保存到datad中(从第N／2-L单元开始)。与前面相同方法计算c１，0，c1，1，…，的值，保存时覆盖掉原来的c0,0，c0,1，…，即可。如果为了系数重构方便，可以把datad中前N／2个单元内容移到原来的c0,k(k=N／2,…，N-1)位置。如此方法便可得到分解系数。?
4 结论
    小波分析具有良好的时频局部性，是当今很受欢迎的分析方法之一，利用定点DSP进行小波变换，满足了实时性，具有良好的精度和低成本，是工控领域的理想选择。