利用重叠扫描方法改进单片机乘法运算

引 言

1946年，第一台电子计算机的诞生开创了计算机发展的新纪元。随着计算机科学技术的迅速发展，计算机的应用领域越来越广泛，并逐渐形成科学发展中的一个新的分支。在计算机的主要工作中，处理大量的数据是其一项基本功能；因而数据运算是必不可少的。于是人们设法在硬件设计与数据结构方面努力进行工作［1］，使计算机的速度不断提高。

十几年前，单片微型机脱颖而出，逐渐应用于微型计算机的各个领域，它不仅适用于一般的自动控　　制，而且还可以承担高精度的数据处理工作。诚然，在许多系统中近来采用DSP来提高微机的数据处理能力，以便完成复杂的图像处理、音频处理、网络通讯等功能，而且是一个趋势；但在这些系统中仍不可忽视运算程序的执行速度，因为好的算法可以大大提高程序的执行效率［2］。同时，考虑到目前8BITMCU的主导地位及某些系统不适合配置DSP来进行数据处理［3］。因此，这里仍有必要对高精度高速度的浮点多字节运算进行进一步研究。

1　浮点多字节标准乘法

普通的计算机都采用标准的加法－移位技术来实现乘法，Mowle曾经对这些基本的乘法算法和问题作了详细的描述［4］。对于二进制数A，B来说，设其数值为AV，BV

由此原始矩阵乘法产生了标准的移位加算法［5，6］。一般的标准浮点乘法运算分为阶码运算与尾数运算两部分，其主要部分为尾数运算。标准尾数相乘是采用边乘边相加的办法（即加法－移位）来实现的，即乘数向左移位，产生中间结果，中间结果被加至积区的方法；在整个过程中，积也与乘数一起移位。此过程如图1所示。上述方法对于两个n位二进制尾数的相乘结果，即乘积为2n位，也就是部分积要点n位，在运算过程中，这2n字节都有可能要有相加的操作，需2n个字节加法器。对于标准算法，相当于进行了8n次2n字节的移位，还有次2n字节的加法。其中Pj（bj）为其每个bit位的布尔取值，其为1则取1，反之则为0。

为了节省运算时间，标准乘法应用标准右移乘法方法以便减少加法器的数量，有关这方面的具体论述请参见文［2］。

2　扫描乘法的基本原理

在执行乘法指令时，如果每个周期所检查的乘数位多于一位，乘法的速度便可以加快。例如，每次检查二位，那么加法移位周期的总数就可以减半。这些逐次扫描的位组可以是分离的，也可以是重叠的。这里先简述一下分离扫描的原理。对于乘数来讲是以字节为单位的，其字长按二进制BIT来计是偶数，设被乘数A＝（AX），乘数B＝（MR）；则在扫描了最低一对乘数位（MR1，MR0）后，有四种可能的动作，如图2所示。对于m＝（MR1，MR0）2来说，被乘数A的倍数m×A被加到当前的部分乘积上，用来生成下一个部分积。上述原理可以推广到任意大小的扫描位组，其具体实现方法和分析结果请参见文［2］，这里不再叙述。

以上所描述的是分离扫描的情况，下面再介绍重叠多位扫描的情况。一般在乘数中bj为0的个数越多，则程序运行的时候对为0的情况仅仅是移位越过，而不用作加法的运算，在此种情况下的运算相对加快。因此希望对乘数的bj能否进行适当的操作，使这之在bj为1的区域也能使运算时间减少。

现考虑乘数中有一串k个连续的1，如下
　　列的位置…，i＋k，i＋k－1，i＋k－2，…，i，i－1，…
　　列的内容…，0，1，1，…，1，0，…      （2）　

按常规，在移位加时，被乘数A与部分积要进行k次加法操作，但是存在
2i＋k－2i＝2i＋k－1＋2i＋k－2＋…＋2i＋1＋2i　  （3）

因此可以用下面的数符串来代替k个连续的1
　　列的位置…，i＋k，i＋k－1，i＋k－2，…，i，i－1，…
    列的内容…，1，0，0，…，－1，0，…   （4）

上面的－1表示执行一次减法。利用这种乘法再编码的方法，只要在数字串开始时作一次加法，结束时作一次减法，使这能够代替原来的k次连续加法。显然，当k很大时，能节省大量的加法时间。

为了方便扫描，乘数位仍按二位一组分成许多组，但一次扫描三位，二位来自现在的组，第三位来自下一次高次组的低位，实际上每一组的低位被检测了二次。为了与右移算法取得一致，假定扫描乘数从右端到左端，重叠和非重叠两种扫描模式表示见图3。

设扫描组XR＝［Xi＋1，Xi］2；下一扫描组XR′＝［Xi＋3，Xi＋2］2；每三位一组检测后的动作说明见图4。其指出了每个机器周期或执行一次单纯的移位，或者执行一次加法，或者执行一次减法，这里只需要倍数2A或4A。当下一对的低次位xi＋2为0时，三位中最左边的1经常指示一串1的左端（结束）。依式（3）所描述的特性，在具有非零的乘数位时应该执行加法。另一方面，当xi＋2＝1 时，即意味着是一串1的右端（开始）或中心，按照串特性需要作一次减法，在每个加法周期中，部分乘积每次要右移二位。这就使部分乘积比它应该具有的数值少了4倍被乘数（－4A）。这可以用在下一步扫描中加上所需被乘数的倍数与4倍数的差值来校正。倍数2A或4A进入加法器的地点是重要的。如果一对的尾数是 0，那么所得到的部分乘积是正确的，而且下一次的操作是一次加法。如果一对的结尾是1，则所得到的部分乘积太大，所以下一次操作将是一次减法。

3　单片机重叠扫描乘法运算的实现

从以上原理可知，针对二位一组的情况需要五个被乘数的倍数，其数值可取为0，±2A，±4A。由于其每移二位至多操作一次加减法，在多字节的运算中对提高执行效率有很大的益处；不过考虑到8BITMCU的移位操作并没有二位一移的指令，对这种扫描算法有很大的障碍，必须重新考虑扫描运算如何在微型机上进行实施。

根据文［2］，MCU对字节与半字节操作的指令较强，因此可以在扫描算法的基础上扩展其扫描位组，这样在每个加法周期中的运算变得很复杂，因此首先必须研究清楚这种情况。

将乘数位按4BIT分成一组，一次扫描五位；设本组为BMi＝［Xi＋3，Xi＋2，Xi＋1，Xi］，下一次要扫描的BMi′的低位为Xi＋4；这样在扫描过程中的情况与文［3］所介绍的情况有类似之处，但这里进行运算的次数不但与BMi有关，同时下一次扫描的低位对本算法也有重大的影响作用。假定在运算数中0，1的概率出现机会均等，对4位一组的扫描进行分析。　　根据重叠扫描算法的原理，BMi′低位为0时（如图5所示），组中最左端的1指示一串1的左端（结束）。依据式（3），很容易得到每次扫描部分积所要加的被乘数倍数（见图5），可以得到其倍数，即相加的倍数
    Pj＝｛BMi－2G［BMi／2］｝A＋BMi．A　　＝2（BMi－G［BMi／2］）A    （5）

其中G［］为取整函数。Pj实质上均与2A有关，这一点从图中可以看到。如果一组的结尾是零，那么所得到部分乘积是正确的，按正常操作；如果一组的结尾是1，那么所得的部分积同上一次扫描有关；所以此时只是在扫描第一组时做一下记录，在最后完成时针对它在最尾端减一次A即可。这一点对于BMi′低位为1时也成立。其部分积加的情况如图6所示。

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区别只是改加为减，因为部分积的减值在以后的扫描中可以修正回来，不用采用补码的运算也能完成，最常用的方法是设置辅助运算区，采用临时记录的方式保证其部分积在扫描任一周期保持正确结果，也称为临时扩展方法，这里就不重复。这样，在每次扫描仅剩下一个问题，即如何处理Pj，这里Pj与文［3］中处理的方法有类似之处。以2A为基础，将Pj形成一个加（减）法序列，也就是将Pj变为2qA的序列，如12A＝22A＋23A。这样就可以在一个扫描周期完成部分积的加法。这里建议读者去探索Pj更好的形成方法，因为形成2qA的序列，1≤q≤3，要占用时间（24A可以通过半字节操作做左端拼加处理，因为24A相当于A左移半字节，运算时直接依靠辅助运算区），同时在特殊处理上也额外占有一些运算时间，这一点在图7中也可以看出来。这样一来，在Pj的加法过程中，扫描算法在某些BMi值上并不都占优势，这一点在图5，6中也可以体现（BMi中Xi＋3，Xi＋2，Xi＋1，Xi为1的个数决定了在标准算法中的加法次数）；但重叠扫描毕竟节省了时间，其与标准算法在一个扫描周期内的加法次数情况如图8所示（其中系列1为重叠扫描算法，系列2为标准算法）。加之在移位中节省的时间，重叠扫描全过程的运算时间与标准右移算法的比较情况如图8所示（S1为重叠扫描算法，S2为标准算法）。在局部区域，由于采用上述的Pj处理方法，运算时间节省情况还不甚理想，但在总体上还是有很大的改进。

4 结 论

以上介绍的是重叠均匀移位扫描算法，前面谈到重叠非均匀移位扫描算法，有关这种算法的详细介绍请参见其他文献。

在以上过程中，是假定BMi中的Xi＋3，Xi＋2，Xi＋1，Xi值的1，0分布服从自然概率，然而在运算中由于Xi＋4的作用，在对某区间数据进行操作时存在差异，通过对一些运算区间的数据进行了统计，其Xi＋4与BMi值的分布概率如图9所示；以实际的一组分布来验证重叠算法运算时间的缩短情况，如图10所示（S1为重叠扫描算法，S2为标准算法；图中前面为S1，后面阴影为S2）。可以看到重叠扫描法对浮点多字节乘法运算有很大的改进，它打破了移位加法的传统乘法算法，有了算法的预测功能，提高了乘法运算的速度。本算法在某军工项目中得到应用，效果很好。

参考文献
1　黄　凯．计算机算术运算原理、结构与设计．北京：科学出版社，1980．106～110
2　陈　宇，王遵立．MC－51单片微型机上实现的快速扫描浮点乘法运算．数据采集与处理，1992，（9）：151～153
3　陈　宇，毕淑艳，王遵立，等．MCS－51单片机实现的快速浮点多字节BCD乘除运算．电子技术应用，1998，（2）：17～19
4　Chen T C．A binary multiplication scheme based onsquaring．IEEE Trans Comput，1971，C－20（6）：678～680
5　Booth A D．A signed binary multiplication technique．Quart Journ Mech and Appl，Math，1951，4（2）：236～240
6　Garner H L．A ring model for the study for a binarymultiplier using 2，3 or 4－bit at a time．IEEE Trans，1959，EC－80（1）：25～30