【动态规划】电路布线问题

1、问题描述：

在一块电路板的上、下两端分别有n个接线柱。根据电路设计，要求用导线(i,π(i)) 将上端接线柱i与下端接线柱π(i)相连，如下图。其中，π(i),1≤ i ≤n,是{1,2,…,n｝的一个排列。导线(I, π(i))称为该电路板上的第i条连线。对于任何1 ≤ i ≤ j ≤n,第i条连线和第j条连线相交的充要条件是π(i)> π(j).

π(i)={8，7，4，2，5，1，9，3，10，6｝

在制作电路板时，要求将这n条连线分布到若干绝缘层上。在同一层上的连线不相交。电路布线问题要确定将哪些连线安排在第一层上，使得该层上有尽可能多的连线。换句话说，该问题要求确定导线集Nets = {i，π(i)，1 ≤ i ≤ n｝的最大不相交子集。

2、最优子结构性质：

记N(i,j) = {t|(t, π(t)) ∈ Nets,t ≤ i, π(t) ≤ j }. N(i,j)的最大不相交子集为MNS(i,j)Size(i,j)=|MNS(i,j)|。

(1)当i = 1时

(2)当i >1时

① j <π(i)。此时，(i,π(i)) 不属于N(i,j)。故在这种情况下，N(i,j) = N(i-1,j)，从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。

② j ≥π(i)。此时，若(i, π(i))∈MNS(i,j)，则对任意(t, π(t))∈MNS(i,j)有t < i且π(t)< π(i);否则，(t, π(t))与(i, π(i))相交。在这种情况下MNS(i,j)-{(i, π(i))}是N(i-1, π(i)-1)的最大不相交子集。否则，子集MNS(i-1, π(i)-1)∪{(i, π(i))}包含于N(i,j)是比MNS(i,j)更大的N(i,j)的不相交子集。这与MNS(i,j)的定义相矛盾。

若(i, π(i))不属于MNS(i,j)，则对任意(t, π(t))∈MNS(i,j)，有t

另一方面，MNS(i-1,j)包含于N(i,j),故又有Size(i,j) ≥Size(i-1,j)，从而Size(i,j)= Size(i-1,j)。

3、递推关系

电路布线问题的最优值为Size(n,n)。由该问题的最优子结构性质可知，子问题最优值的递归关系如下：

自底向上，先算上排接线柱只有1个，2个的最优布线，然后求上排接线柱有多个的最优布线。具体代码如下：

//3d8 动态规划 电路布线问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 10;

void MNS(int C[],int n,int **size);
void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m);

int main()
{
 int c[] = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};//下标从1开始
 int **size = new int *[N+1];

 for(int i=0; i<=N; i++)
 {
  size[i] = new int[N+1];
 }

 MNS(c,N,size);

 cout<<"电路布线最大不相交连线数目为："<<size[N][N]<<endl;

 int Net[N],m;
 Traceback(c,size,N,Net,m);

 cout<<"最大不相交连线分别为："<<endl;
 for(int i=m-1; i>=0; i--)
 {
  cout<<"("<<Net[i]<<","<<c[Net[i]]<<") ";
 }
 cout<<endl;
 return 0;
}

void MNS(int C[],int n,int **size)
{
 for(int j=0;j<C[1];j++)
 {
  size[1][j]=0;
 }

 for(int j=C[1]; j<=n; j++)
 {
  size[1][j]=1;
 }

 for(int i=2; i<n; i++)
 {
  for(int j=0; j<C[i]; j++)
  {
   size[i][j]=size[i-1][j];//当i<c[i]的情形
  }
  for(int j=C[i]; j<=n; j++)
  {
   //当j>=c[i]时，考虑(i，c[i])是否属于MNS(i,j)的两种情况
   size[i][j]=max(size[i-1][j],size[i-1][C[i]-1]+1);
  }
 }
 size[n][n]=max(size[n-1][n],size[n-1][C[n]-1]+1);
}

void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m)
{
 int j=n;
 m=0;
 for(int i=n;i>1;i--)
 {
  if(size[i][j]!=size[i-1][j])//此时，（i,c[i])是最大不相交子集的一条边
  {
   Net[m++]=i;
   j=C[i]-1;//更新扩展连线柱区间
  }
 }
 if(j>=C[1])//处理i=1的情形
 {
  Net[m++]=1;
 }
}

算法MNS时间和空间复杂度为O(n^2)。Traceback时间复杂度为O(n)。程序运行结果如下：