二阶滤波器响应

二阶滤波器的重要性不仅仅是在于他们本身，而且还在于他们是构造高阶滤波器的重要组成部分，因此本篇主要学习关于二阶滤波器的理论及其响应的特性。

对于二阶滤波器都可以表示成如下的标准形式，这个标准形式对于下面讨论二阶滤波器的响应是很有理解作用的，其中式中 ω0 为无阻尼自然频率，N(s)为一个m≤2的多项式。

H(s)的分母函数有两个极点可以计算出来为

关于ξ的函数，根轨迹如下图所示，其中有下面的四种情况

1.当ξ>1，极点为实数并且为负数，自然响应是由两个衰减的指数项组成，这别称作为过阻尼。

2.当0<ξ<1，极点为一对共轭复根，可以表示为p1,2=-ξω0±jω0sqr(1-ξ^2),这些极点都位于左半平面，此时称为欠阻尼，欠阻尼状态也是二阶滤波器中经常要保证的状态。

3.当ξ=0，p1,2=±jω0这表明这两个极点恰好都在虚轴上，自然响应式一个恒定不变的未受衰减的正弦信号，他的频率为ω0这也是ω0名称的由来。

4.当ξ<0,极点位于右半平面，响应为发散的，因此滤波器为了保持稳定必须有ξ>0.

s→jω0可以得到如下的频率响应，其中的Q值将会在滤波器的特性中起到关键性的作用。

二阶响应，可以高频渐进线的陡峭程度增加了两倍斜率，还能对w/w0=1附近频域的幅度形状调节增加了自由度，在实际应用中，Q值的范围为0.5~100，对于不同的Q值幅度如下图所示，对于低Q值而言，从一条渐近线到另一条的过度时平缓的，对于高Q值，在w/w0=1的附近频带内有|Hlp|>1，这种现象称为峰化。可以证明，在出现峰化之前，Q的最大值是Q=0.707.他响应曲线称为最大平伏或者称为巴特沃兹响应，在巴特沃兹响应中w0的意义与一阶响应情况一致，都代表了-3dB频率，也称作截止频率。

N(s)对于滤波器的影响是滤波器的性质，下面的几个式子分别为几种不同特性的滤波器的表达式

低通滤波器

高通滤波器

带通滤波器

带阻滤波器

全通滤波器