开关电容梳状滤波器幅频特性的深入分析

作者：尹继武，龙姝明，王少华，孙彦清，卢 超

最基本的开关电容电路是由电子开关和电容组成的，主要应用是构成各种低通、高通、带通、带阻等开关电容滤波器(Switched-Capacitor Filter，SCF)。将开关电容电路与运算放大器结合，组成的开关电容有源滤波器具有很多奇特的性质，但由于引入了电子开关，对电路特性进行严密分析变得异常困难，目前已有的分析方法都只是在一定条件下从一个侧面进行近似分析，本文立足于最基本的电路理论，借助计算机系统对其进行复杂而严格的分析计算，最终得到了具有普遍意义的结论，上述文献的结果只是该普遍性结论的特例。

1 SCF电路

开关电容有源滤波器电路如图1(a)，其中S1和S2是由周期为2T的方波信号控制的理想电子开关，方波控制信号p(t)波形如图1(b)，其占空系数为0.5。即在2kT<t<(2K+1)T期间两开关接通A点，在(2K+1)T<t<(2K+2)T期间两开关接通B点，其中K=0，1，2，…，是时段编号。

2 时域法特性分析

时域分析法的思路是根据图1的电路结构建立电路的微分方程(以输出电压为研究对象)。转换周期为2T的电子开关的方波控制信号可表示为周期为2T的周期信号p(t)与单位阶跃信号ε(t)的乘积：

式中：k=0，1，2，…。fT=1／(2T)为开关频率，电路在k时段的时域响应(输出电压)表示为hk(t)，并设：

(1)电容C在t=0_时刻电压为零(0_，kT_等带下划线符号表示相应时刻的前瞬，下同)，即：

(2)因为狄拉克δ函数激励下的零状态响应h(t)的傅里叶变换即为电路的频率响应函数，即系统(频谱)函数H(Ω)，故设电路输入信号(激励)为δ函数，即：

由于电子开关周期性切换，RC电路对外电路的影响表现为：下一时段的输出电压初值是上一时段末时刻输出电压值乘(-1)，即：

图1(a)中理想运放反相端为虚地，第0时段(即k=0，0≤t<T)电路响应h0(t)的微分方程为

由式(8)可见，第k段的非零值时区为(kT，(k+1)T_)，即各时段非零值区间互不重叠，对hk(t)关于k求和，得开关电容电路(对外)的单位冲激零状态响应h(t)为：

特别注意，求和式是一周期为2T的周期方波p(t)与单位阶跃信号ε(t)的乘积，对上式取Fourier积分变换即得到开关电容电路系统频谱函数(用j表示虚数单位，下同)：

也可以根据式(1)定义的周期为2T的开关方波信号p(t)，将式(9)改写为：

易证式(13)与式(10)完全一致，故其幅频特性∣H(Ω)∣仍与式(11)相同。

上式说明，Ie(Ω)是输入电流频谱I(Ω)周期延拓的组合，周期为Ω0=2π／T。各电流分量流过RC并联支路时的电压为相应电流分量与RC支路阻抗(R／(1+jωτ)，ω=Ω±(2n+1)π／T)的乘积，于是输出电压频谱U(Ω)为：

为求系统频谱函数，取i(t)=-ui(t)／R1=-δ(t)／R1，I(Ω)=-1／R1，得到系统频谱函数：

其中R／R1=τ／τ1，结果与式(14)一致，幅频特性∣H(Ω)∣仍与式(11)相同。

4 结 语

给定图1(a)电路参数τ和τ1，选择α=τ／T分别取不同值时，根据式(11)做出的归一化幅频特性曲线如图2所示，结合对式(11)做深入分析表明：

(1)α=τ／T较大时电路是梳齿幅度按奇数倒数规律衰减的梳状滤波器，通带中心频率(梳齿)为：

此时图1(a)电路允许f=fT，f=3fT，f=5fT，…等频率成份通过，且随着频率的升高，输出幅度按奇数倒数规律逐渐减小。

(2)α=τ／T较大时，f=(2n)fT(其中n=0，1，2，…)是系统的阻带中心频率，落在这些频点上的信号将获得最小传输系数，最小传输系数(即梳状滤波器幅频曲线谷底高度)为：

(3)该梳状滤波器梳齿间隔(即阻带中心频率或通带中心频率间隔)为△f=2fT。

比较图2可看出：开关转换周期2T(相对于电路时间常数τ)越小，α越大，梳齿间谷底越接近零，梳齿越尖锐(即梳齿带宽越窄)。例如，计算发现：图2(a)中，α=τ／T=10，第一梳齿通带宽度为B0.7=0.394fT。图2(b)中，α=τ／T=2，第一梳齿通带宽度为B0.7=2.33fT。

(4)随着电子开关切换周期2T增大(α减小)，梳齿间谷底最小值逐渐增大。电路逐渐过渡为幅频特性曲线轻微起伏的低通滤波器，如图2(d)所示。低通滤波器传输函数极大值为：

由∣H(Ω)∣=0.707∣H(Ω)∣max可以求得低通滤波器上限截止频率，结果表明，对于低通滤波器．仍为α越大，低通滤波器上限频率(即带宽)越小。