概率到统计的思考与理解

由于统计学在现实生活和“高端”科学研究中有着很高的地位，时常思考统计相关的问题，加深对它的基础理论的理解应该对我们理解和研究现实世界有帮助。

1、样本空间与总体的关系

样本空间，在茆诗松等编著的《概率论与数理统计教程》一书中，是这样定义的：随机现象的一切可能的基本结果组成的集合称为样本空间，每个基本结果被称为样本点。首先理解一下，什么是随机现象？随机现象就是在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象，称为随机现象。这里我们不去深究什么是现象，因为他的解释本身是抽象的，抽象的东西相对具体的东西理解稍微困难一点，我们可以在不断的学习过程中慢慢理解、意会这些概念。这里我们固定了某个关心的结果后，就可以产生样本空间了。比如，我们研究“某个环境中，固定条件下，投掷骰子出现的点数”，这里我们考虑的是出现的点数这种结果形式，为什么不是说结果，而是说结果形式，只是微妙的一点点差别而已，结果是确定的，而结果形式是概述这些可能的结果，我这样理解，但是由于这样会带来理解上的负担，干脆用“结果”这个词来代替了，在大多数情况下，大家都可以意会。这个例子中，我们考虑的是投掷骰子这种随机现象的出现点数这种结果，所以样本点有“出现1点”，“出现2点”，...，"出现6点"，这些样本点组成样本空间。样本空间还强调了“一切可能”，表征全面性。样本空间的本质属性是集合，这个定义不想我们大家在代数中学到的空间一样，代数中，空间是定义了运算以及某些限定条件的集合，他跟分析中的空间也不一样，总之概率中的样本空间仅仅是一个集合而已，如果你愿意，你可以叫他样本集合。

总体，我们继续把茆诗松等人的定义作为理解的出发点，所谓总体就是指研究对象的全体。与样本空间不同，样本空间是随机现象的我们所关心的结果的集合，而总体是指对象的全体，它本质也是集合的概念，每个研究对象是可以区分开来的，每一个对象我们称之为个体，总体只说明是对象的集合，没有说明是结果的集合，但是很多情况下，或者研究统计的科学家实际上是想把总体定义成结果的集合的，实际中他们也是这样用的。他们隶属的学科也不同，样本空间属于概率论的范畴，总体属于统计的范畴。概率是给出某些假设本质，研究本质后的现象问题，就是说概率是已知概率分布，然后研究随机变量的关系啊，性质啊，给一些新的变量定义啊，比如数学期望，方差，标准差啊之类的，统计是为了发现总体某种原始本质性质，而做出的数学上的分析和理解。当然这只是我个人的理解，也许事实不是这样的，不管事实怎样，这样理解并不会对我们理解统计学的基本原理和方法造成障碍。

既然学科不同，即使他们有联系，我们在考虑不同学科的时候，根据上下文区分即可，不要过于纠结，纠结多了，会阻止我们前进的。

2、理解总体之后的概念和需要研究的问题

知道了什么是总体，什么是个体了么？ 如果我们要研究某个区域中学生的身高，那么这个区域中所有学生的身高构成了我们研究问题的总体，每个学生的身高就是一个个体。这样一来，我们如果继续思考下，写书的作者也做过讨论，就是做数学理论研究，很容易想到去除实际背景，研究去除背景后的数学模型的性质理论。这里呢，我们就去除身高这个实际名词，我们研究的是代表身高的那一堆数，这堆数有的出现的次数多一点，有的出现的次数少一点，也就是说在这堆数中任意取一个数，每个数都有可能被抽到。那么我们可以把这个数看成随机变量去研究它，是可以的，这堆数有用一个分布函数来描述它，每个数用随机变量描述它。再插一点，什么是随机变量呢？随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数。又提到样本空间了，另一种理解，样本空间就是这个区域中所有学生，样本点就是每个学生，那么不管你研究身高，还是体重，这两个都可以给出数量指标，这个指标完全可以用实数来表示，这就是随机变量了，如果考虑的是身高和体重，用一个二维随机变量来表示就行了。现在我们研究的是统计学问题，随机变量就是定义在总体之上的实值函数，但是前面我们说的总体是全体学生的身高啊，怎么不是全体学生呢？哈哈，可以根据上下文区分下，总体到底是什么，一般我们研究的是可以量化的指标，如果只考虑某一个指标的时候，我们研究的每个同学只有一个这样的指标，所以这个指标可以认为就是这个同学了，但是我们在研究多个指标的情况下，我们只能把总体看成是全体学生了，你不把它看成全体学生也可以，可以认为每个个体只是变成了一个多维描述的指标了而已。

在纠正道正路上来，我们研究总体的性质有很多限制，比如我们没有那么多人力去认真统计某个大区域中的所有学生身高。我们又想知道总体到底是一个什么样子的。其实我们说研究性质，不是十分准确，概率统计中，只要分布已知了，本质就知道了。所以准确的说，我们是为了研究总体的分布，想知道总体到底满足什么分布，然后某些分布具有什么性质，就是概率论研究的内容了。

不能每个个体都研究，我们就想一个办法来近似的研究整体，就是找一个我们认为能很好的代替总体的一个小集合来研究下，为了更好的在数学上研究呢，我们就引进了样本的概念。关于样本的定义大家有一点差别，但是不会影响我们后面的学习，我倾向于于寅写的高等工程数学里的理解，当然他也许不是这个定义的创造者，但是我读了他的书，学知识而已，就认为是他写的也不会影响我们最终的收获。样本就是按照一定规则从总体抽取的若干个体，抽取的个体数目称为样本容量，有的人也就他样本量。如果我们抽取的规则是随机的，也就是说每个个体被抽到的机会是均等的；每一次抽取的个体跟其它次抽取行为没有关系。这样的到的样本叫简单随机样本。我们大多数情况下研究这样的样本。因为这样的样本才能很好的反应总体的本质。至于为什么这样的样本能反应总体分布，我没有去证明，也许有前辈已经证明了，我们就可以站在前辈的肩膀上了。

想想，既然从总体中是随机拿到的一个值，那么代表这个值得变量就是随机变量了，它应该跟总体满足相同的分布，而且他们相互独立，所谓独立同分布啊。所以一个样本可以认为是一个多维随机变量，每一维都是独立的。试验做毕，你会得到一组值，这组值就是样本观测值。试验就是抽取个体的过程。样本中的每个个体呢，也有个新名字，叫样品。有的时候也不区分这个，所以有些书里面也就不介绍了。