连续信号（模拟信号）在有限区间上的傅立叶级数展开,离散频谱

先解释下文章的题目。我们讨论的是信号，首先面临的是什么是信号，或者我们将要讨论的具体“信号”代表的是什么，其实我认为信号就是函数，之所以不称他为函数，是因为他是一种特殊的函数----它携带了信息，所以信号就是携带了信息的函数。 连续信号是指，自变量连续取值的信号，也称为模拟信号。注意，这里并没有说连续信号是连续函数，连续信号只是限制了自变量取值的连续性。而自变量不是连续变化的信号，称为离散信号。在这篇文章里，我们要讨论的是连续信号在有限区间上的傅立叶级数展开，之所以要讨论有限区间，是因为在工程应用中，我们往往只能讨论有限时间或者空间变化内的信号。 

为什么要讨论傅立叶级数展开呢？原因是，这个称为信号的函数的特殊性，因为它携带了信息，我们希望能获取这种信息，而将其展开成傅立叶级数的形式，可以获得它的一些信息，所以我们要讨论它的傅立叶级数展开。其实信号处理的基础就是傅立叶级数展开，这里实在是感谢傅立叶，没有它，今天很多智能应用都是很难实现的。另一方面，我们不学好它，也不好在现代社会学术前沿生存！所以学起吧！

1、叠加与逆

信息通过波传播，在信号的传播路径上，连续采集它的幅度值，就能得到一个时间的函数，这个函数就是一种信号。考虑声音在某种介质中传播，介质固定后，波的传播速度就固定了，速度固定，我们根据波的频率不同来区分不同的声音。但是我们很难从获得的声音信号中看出频率的信息！但是，如果我们随机的组合不同频率的波，可以得到复杂的波，那么复杂的波是否可以分解成不同频率的波的组合呢？

这其实也是个逆问题。简化理解下：某种客观存在发出不同频率的波，然后叠加起来，传播，我们收到了这个信号，能否得到原先不同频率的波？由我现在掌握的知识，我不觉的这是可行的，但是我们可以找到某些频率的波的叠加。我的意思是，复杂波不能唯一的分解成某些频率波的叠加，但是可以分解成某些频率的波的叠加。最后我会再说明这一点。

2、一些基本的概念后出发！

由于我们讨论有限区间上模拟信号的傅立叶级数展开。有限区间定义为[t_0, t_0 + T]，f_0=1/T称为基频。我们认为简谐波是最简单的波，一般我们采集到的波称为复杂波，所以A*sin(2*pi*f_0*t+phi)称为基波，给一个正整数n，nf_0这个频率称为n次倍频（这个称呼是我自己想的，没有文献中大家的叫法，如有看客不吝告知有行业共识的称呼，不胜感激呀），A*sin(2*pi*n*f_0+phi)称为n次谐波。我们先做个实验，看看由频率不同的波组成的复杂波是什么样子的。

先附上我做实验用的程序，由matlab写成。

% 
T = 4; % time region. [0, 0+T]
f0 = 1/T; % fundamental frequency

Num = 3; %number of waves.
Samples = 500; % number of samples on the time domain.
fa = 1:Num;
fa = f0*fa; % frequency of every wave.

% amplitude
A = 10*rand(1,Num);
A = round(A); % set every wave's amplitude randomly

% 
re = zeros(1,Samples); 
t  = linspace(0,T,Samples); % time sample position

% every waves
rew = zeros(1, Samples);
figure;
for i = 1:Num
    rew = A(i)*sin(2*pi*fa(i)*t);
    plot(t, rew);
    hold on
    re = re + rew;
end
plot(t, re, 'r');

在实验中，我设置了各个简谐波的相位都为0，设置每个波的幅度值为随机数。大家在运行的时候可能有不同的结果。

我运行一次的结果如图1：

图1 简谐波的叠加，红色波形是叠加的结果。

实际上，即使不做实验，我们也很明白，不同的函数叠加一定可以得到一个新的函数，不同的简谐波当然可以叠加称一个复杂波。问题是，我们可以由复杂波分解成多个不同频率的简谐波的叠加么？ 实际上数学上，在一定条件下，是可以的。

某些复杂的波，在一定条件下可以展开成某些频率的波的叠加。但是这种展开，我觉得并不是唯一的，但是有一种基本的波形可以被用来做叠加之用，而且大多数复杂波都可以由他们叠加而成，这种波就是简谐波，而且我们会限定间歇波的频率关系，写成级数的形式，就是傅立叶级数了。

3、傅立叶来了！

任何复杂波形都可以在一定条件下被展开成傅立叶级数的形式。

设复杂波为x(t)，在有限区间[t_0, t_0+T]上定义，f_0=1/T为基波的频率。则有

下面慢慢推倒出另一种形式。

首先把（1）式sin函数展开可以得到：

做如下设定：

则复杂信号x(t)的展开可以写成：

（5）式就是信号x(t)的傅立叶展开了。

4、傅立叶展开的复数形式

Euler公式如下：

根据这个公式，我们可以得出：

将（8，9）两式带入（5）式，计算得到：

做如下设定

由（10，11，12，13）可得

将（14）式的等号右边的第三项改成n从-1，到负无穷，可以写成如下形式：

（15）式就是信号的复数形式的傅立叶展开了。

5、信号的傅立叶分析

看（15）式，如果我们能确定c_n，我们就可以求得A_n和phi_n了，各个频率的幅度值和相位就确定了。信号是携带信息的函数，信息就是n次谐波的振幅、频率和相位！也许不同的人有不同的看法，我只是同意这个观点而已。

下面介绍怎么求解c_n，也许数学上有许多条件限制，我们就认为一切条件都是满足的，直接来求。

将（15）式左右两边乘以e^{-i2pi m f_0 t}，将两边的函数在[t_0, t_0+T]上求积分。

(16)式中，等式右边积分号是不能随便进入和号内部的，需要满足一定条件。比如和式的每一项都连续，并且函数项级数一致收敛于某个函数，这个 积分号就可以放到和号之内了。

各位可以验证，当m！=n时，和式内的积分为0.所以只能保留m=n时的式子，而且积分为值为Tc_n，那么：

c_n求的之后，我们就可以知道A_n 和 phi_n了，根据（3，4，11，12，13）知道：

由（22，23）两式得到的A_n和相位phi_n是相等的。

称c_n为x(t)在有限区间上的离散频谱，称|c_n|为信号x(t)在有限区间[t_0, t_0+T]上的离散振幅譜；称Argc_n为信号x(t)在有限区间[t_0, t_0+T]上的离散相位譜。离散相对连续存在，后面的文章会继续讨论，连续信号的连续频谱。

由信号x（t）求出傅立叶级数的系数c_n，称为在有限区间上对信号x(t)做频谱分析。

6、连续信号傅立叶分解的唯一性讨论

大家注意到一开始说信号在有限区间上展开成傅立叶级数，定义的级数中简谐波的频率是跟信号考虑的区间长度有关系的。

如果给出一个信号，我们取得时间段不同，得到的离散振幅譜和离散相位譜也会存在差异的。

我们得到一个信号，如果这个信号周期性的，我们可以在一个周期内做频谱分析，因为周期信号的所有信息就可以认为都保存在同一个周期里了！

7、总结

总结几点：

* 信号在一定条件下可以分解成傅立叶级数的形式。

* 取信号的区间长度不同，频谱分析结果存在差异。

* 要做周期性的频谱分析，意义重大。

还有需要说明一下的是：简单波和复杂波是相对的概念。在本文的讨论中，简单波我们使用的是正弦波，我们也可以使用其他波作为简单波，简单波的叠加被成为复杂波。具体使用什么波要根据具体情况而定。但是傅立叶分析是最重要的！