程序员面试100题：求子数组的最大和

[导读]1.题目输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。例如输入的数组

1.题目输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。

2.算法初级分析刚开始接触，我们肯定会想用遍历数组求和来解决问题，如果不考虑时间复杂度，我们可以枚举出所有子数组并求出他们的和。但显然那样做的话没有什么算法含量，过于暴力了，没有编程艺术的气息。并且题目要求时间复杂度为O(n)，长度为n的数组有 ((n+1)*n)/2 个子数组（即为O(n2) ），而且求一个长度为n的数组的和的时间复杂度为O(n)，因此这种思路的时间是O( n3 )。

int MaxSum(int* A, int n)
{
int maximum = -INF;
int sum=0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
  for(int j = i; j < n; j++)
  {
   for(int k = i; k <= j; k++)
   {
    sum += A[k];
   }
   if(sum > maximum)
     maximum = sum;

sum=0;

}
}
return maximum;

}

第二种解法：

int maxsum(int a[n])      
{  
    int max=a[0];      
    int sum=0;  
    for(int j=0;j=0)     
            sum+=a[j];  
        else     
            sum=a[j]; 
        if(sum>max)  
            max=sum;  
    }  
    return max;  
}  
  
int main()  
{  
    int a[]={1,-2,3,10,-4,7,2,-5};  
    cout<<maxsum(a)<<endl;  
    return 0;  
}

第三种解法：动态规划：设sum[i] 为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组，result 为已找到的子数组中和最大的。对第i+1个元素有两种选择：做为新子数组的第一个元素、放入前面找到的子数组。
sum[i+1] = max(a[i+1], sum[i] + a[i+1])
result = max(result, sum[i])
3.编程之美的代码下面给出《Data structures and Algorithm analysis in C》中4种实现

//Algorithm 1:时间效率为O(n*n*n)  
int MaxSubsequenceSum1(const int A[],int N)  
{  
    int ThisSum=0 ,MaxSum=0,i,j,k;  
    for(i=0;i<N;i++)  
        for(j=i;j<N;j++)  
        {  
            ThisSum=0;  
            for(k=i;kMaxSum)  
                MaxSum=ThisSum;  
        }  
        return MaxSum;  
}  
  
//Algorithm 2:时间效率为O(n*n)  
int MaxSubsequenceSum2(const int A[],int N)  
{  
    int ThisSum=0,MaxSum=0,i,j,k;  
    for(i=0;i<N;i++)  
    {  
        ThisSum=0;  
        for(j=i;jMaxSum)  
                MaxSum=ThisSum;  
        }  
    }  
    return MaxSum;  
}  
  
//Algorithm 3:时间效率为O(n*log n)  
//算法3的主要思想：采用二分策略，将序列分成左右两份。  
//那么最长子序列有三种可能出现的情况，即  
//【1】只出现在左部分.  
//【2】只出现在右部分。  
//【3】出现在中间，同时涉及到左右两部分。  
//分情况讨论之。  
static int MaxSubSum(const int A[],int Left,int Right)  
{  
    int MaxLeftSum,MaxRightSum;              //左、右部分最大连续子序列值。对应情况【1】、【2】  
    int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;  //从中间分别到左右两侧的最大连续子序列值，对应case【3】。  
    int LeftBorderSum,RightBorderSum;  
    int Center,i;  
    if(Left == Right)Base Case  
        if(A[Left]>0)  
            return A[Left];  
        else  
            return 0;  
        Center=(Left+Right)/2;  
        MaxLeftSum=MaxSubSum(A,Left,Center);  
        MaxRightSum=MaxSubSum(A,Center+1,Right);  
        MaxLeftBorderSum=0;  
        LeftBorderSum=0;  
        for(i=Center;i>=Left;i--)  
        {  
            LeftBorderSum+=A[i];  
            if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum)  
                MaxLeftBorderSum=LeftBorderSum;  
        }  
        MaxRightBorderSum=0;  
        RightBorderSum=0;  
        for(i=Center+1;iMaxRightBorderSum)  
                MaxRightBorderSum=RightBorderSum;  
        }  
        int max1=MaxLeftSum>MaxRightSum?MaxLeftSum:MaxRightSum;  
        int max2=MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum;  
        return max1>max2?max1:max2;  
}  
  
//Algorithm 4:时间效率为O(n)  
//同上述第一节中的思路3、和4。  
int MaxSubsequenceSum(const int A[],int N)  
{  
    int ThisSum,MaxSum,j;  
    ThisSum=MaxSum=0;  
    for(j=0;jMaxSum)  
            MaxSum=ThisSum;  
        else if(ThisSum<0)  
            ThisSum=0;  
    }  
    return MaxSum;  
}