按从小到大的顺序的第1500个丑数

题目：我们把只包含因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第1500个丑数。

分析：这是一道在网络上广为流传的面试题，据说google曾经采用过这道题。

算法一：所谓一个数m是另一个数n的因子，是指n能被m整除，也就是n % m == 0。根据丑数的定义，丑数只能被2、3和5整除。也就是说如果一个数如果它能被2整除，我们把它连续除以2；如果能被3整除，就连续除以3；如果能被5整除，就除以连续5。如果最后我们得到的是1，那么这个数就是丑数，否则不是。

#includeusing namespace std;

int GetUglyNum1(int n)
{
	int i, temp, time=0;
	for(i=1; ; i++)
	{
		temp=i;
		while(temp%2==0)
			temp/=2;
		while(temp%3==0)
			temp/=3;
		while(temp%5==0)
			temp/=5;
		
		if(temp==1)
		{
			time++;
			if(time==n)
				break;
		}
	}
	return i;
}

void main()
{
	int n;
	cout<>n;
	cout<<GetUglyNum1(n)<<endl;
}

该算法非常直观，代码也非常简洁，但最大的问题我们每个整数都需要计算。即使一个数字不是丑数，我们还是需要对它做求余数和除法操作。因此该算法很耗时。

         接下来我们换一种思路来分析这个问题，试图只计算丑数，而不在非丑数的整数上花费时间。根据丑数的定义，丑数应该是另一个丑数乘以2、3或者5的结果（1除外）。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数。里面的每一个丑数是前面的丑数乘以2、3或者5得到的。

这种思路的关键在于怎样确保数组里面的丑数是排好序的。我们假设数组中已经有若干个丑数，排好序后存在数组中。我们把现有的最大丑数记做M。现在我们来生成下一个丑数，该丑数肯定是前面某一个丑数乘以2、3或者5的结果。我们首先考虑把已有的每个丑数乘以2。在乘以2的时候，能得到若干个结果小于或等于M的。由于我们是按照顺序生成的，小于或者等于M肯定已经在数组中了，我们不需再次考虑；我们还会得到若干个大于M的结果，但我们只需要第一个大于M的结果，因为我们希望丑数是按从小到大顺序生成的，其他更大的结果我们以后再说。我们把得到的第一个乘以2后大于M的结果，记为M₂。同样我们把已有的每一个丑数乘以3和5，能得到第一个大于M的结果M₃和M₅。那么下一个丑数应该是M₂、M₃和M₅三个数的最小者。

前面我们分析的时候，提到把已有的每个丑数分别都乘以2、3和5，事实上是不需要的，因为已有的丑数是按顺序存在数组中的。对乘以2而言，肯定存在某一个丑数T₂，排在它之前的每一个丑数乘以2得到的结果都会小于已有最大的丑数，在它之后的每一个丑数乘以2得到的结果都会太大。我们只需要记下这个丑数的位置，同时每次生成新的丑数的时候，去更新这个T₂。对乘以3和5而言，存在着同样的T₃和T₅。

#includeusing namespace std;
int Min(int num1, int num2, int num3)
{
	int min=(num1<num2)?num1:num2;
	min=(min<num3)?min:num3;
	return min;
}

int GetUglyNum2(int n)
{
	if(n<=0)
		return 0;
	int *pUgly=new int[n];
	pUgly[0]=1;
	int nextUglyIndex=1;
	int *p2=pUgly;
	int *p3=pUgly;
	int *p5=pUgly;
	while(nextUglyIndex < n)
	{
		int min=Min(*p2*2, *p3*3, *p5*5);
		pUgly[nextUglyIndex]=min;
		while(*p2*2<=min) p2++;
		while(*p3*3<=min) p3++;
		while(*p5*5<=min) p5++;
		nextUglyIndex++;
	}
	int ugly=pUgly[n-1];
	delete[] pUgly;
	return ugly;
}

void main()
{
	int n;
	cout<>n;
         cout<<GetUglyNum2(n)<<endl;
	
}

第一种思路相比，这种算法不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间复杂度要低很多。当然我们也要指出，第二种算法由于要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而需要额外的内存。第一种算法是没有这样的内存开销的。