讲解:Bezier曲线原理及实现代码(c++)
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一、原理:
贝塞尔曲线于1962年,由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所广泛发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发,以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线
给定点 P0、P1,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:
且其等同于线性插值。
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪:
。
TrueType 字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。
P0、P1、P2、P3 四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于 P0 走向 P1,并从 P2 的方向来到 P3。一般不会经过 P1 或 P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。 P0 和 P1 之间的间距,决定了曲线在转而趋进P3 之前,走向 P2 方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为:
。
现代的成象系统,如 PostScript、Asymptote 和 Metafont,运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线,用来描绘曲线轮廓。
一般化
P0、P1、…、Pn,其贝塞尔曲线即
。
例如 :
。
如上公式可如下递归表达: 用 表示由点 P0、P1、…、Pn 所决定的贝塞尔曲线。则
用平常话来说, 阶贝塞尔曲线之间的插值。
一些关于参数曲线的术语,有
即多项式
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式,定义 00 = 1。
点 Pi 称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成,起始于 P0 并以 Pn 终止,称作贝塞尔多边形(或控制多边形)。贝塞尔多边形的凸包(convex hull)包含有贝塞尔曲线。
线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P0 至P1 的 B(t) 所描述的曲线。例如当 t=0.25 时,B(t)
即一条由点 P0 至 P1 路径的四分之一处。就像由 0 至 1 的连续 t,B(t) 描述一条由 P0 至 P1 的直线。
为建构二次贝塞尔曲线,可以中介点 Q0 和 Q1 作为由 0 至 1 的 t:
由 P0 至 P1 的连续点 Q0,描述一条线性贝塞尔曲线。由 P1 至 P2 的连续点 Q1,描述一条线性贝塞尔曲线。由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。
为建构高阶曲线,便需要相应更多的中介点。对于三次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2,和由二次曲线描述的点 R0、R1 所建构:
对于四次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2、Q3,由二次贝塞尔曲线描述的点 R0、R1、R2,和由三次贝塞尔曲线描述的点 S0、S1 所建构:
P(t)=(1-t)P0+tP1 , 。
矩阵表示为:
, 。
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2, 。
矩阵表示为:
, 。
P(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3
矩阵表示为:
, 。
(6-3-2)
, 。
在(6-3-2)式中,Mn+1是一个n+1阶矩阵,称为n次Bezier矩阵。
(6-3-3)
。
其中,
利用(6-3-3)式,我们可以得到任意次Bezier矩阵的显式表示,例如4次和5次Bezier矩阵为:
,
可以证明,n次Bezier矩阵还可以表示为递推的形式:
(6-3-4)
二、算法(c++)
工程目录是:Win32App
vc6.0
#include
HDC hdc;
static POINT pt[NUM];
TEXTMETRIC tm;
static int cxClient,cyClient;
HPEN hpen;
int i,j,k,n,t;
switch(message)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc,&tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd,hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
for(i=0; i<500; i++)
{
SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(j=0; j<NUM; j++)
{
pt[j].x = rand()%cxClient;
pt[j].y = rand()%cyClient;
}
hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
PolyBezier(hdc,pt,NUM);
for(k=0; k<50000000;k++);
}
for(i=0; i<100;i++)
{
Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);
Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;
}
if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;
SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
ReleaseDC(hwnd,hdc);
DeleteObject(hpen);
ValidateRect(hwnd,NULL);
return 0;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
return 0;
}
return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}