基于灵活性的六轴并联机床结构参数的多学科优化

引言

并联机床有着高刚度、高精度、低惯性等特点,它优化的关键在于如何扩大其工作空间或提高灵活性[l-2],因此设计并联机床应注重确定工作空间的大小及提高机床整体的灵活性。传统的优化方法通常会忽略各子系统之间的相互耦合关系而出现设计缺陷影响实际使用。多学科设计优化(MultidiSciplinaryDeienandgptimization,MDg)是一种充分探索子系统相互作用的复杂系统设计方法论,其基本原理是通过探索和利用系统中相互作用的协同机制,利用多目标策略和计算机辅助技术来设计复杂系统及其子系统,可以有效缩短设计周期,获取系统整体最优性能。本文在满足加工工作空间要求的前提下,以并联机床的工作空间的灵活性为目标函数,以五个结构参数作为设计变量,对并联机床的结构参数进行优化设计,所采用的多学科优化方法比起传统的遗传算法不仅收敛速度更快,而且得到的结果也更优,从而证实了多学科优化方法明显优于传统的遗传优化方法。

1并联机构的灵活性指标

提出基于雅可比(Jacobian)矩阵的用于并联机构设计的灵活性指标,条件指数为:

该指标要求沿各方向的映射放大倍数相差无几,所以在机床设计时,应使雅可比矩阵的条件数在操作的范围内尽量为较小值。

全局条件数是衡量整个工作空间内的雅可比矩阵的条件数,定义为:

式中,w为并联机构的整个工作空间。

并联机床的工作空间复杂,无法直接得到工作空间的解析式,可以采取近似方法得到其数值,步骤如下:

(1)可以定义一个半径为r,高度为h,最小可达章动角为8min的圆柱体的工作空间,在圆柱体内任意选取一定量的点,表示为N。

(2)计算所有选取点的雅可比矩阵的条件数,并将条件数的倒数相加,即:

(3)全局条件数可以用S乘以圆柱体的体积再除以所选的点数N,即:

2并联机构的运动分析

如图l所示,上平台建立动坐标系0'-X'y'Z',下平台建立坐标系0-XyZ,定平台的半径为R,动平台的半径为r,定平台到工作台的距离为H,Zbl0'b6=。b,ZBl0B6=。B:6-SPS并联机构的结构如图2所示,以Li表示第i条支路两较之间的矢量。

式中,0bi与0Bi分别表示较点bi和Bi在固定坐标系中的矢量。用ni表示沿Li的单位向量:

式中,1i为第i杆的长度。

用Vbi,Abi表示活动平台的较链点bi的速度和加速度。因为:

取上式的两边对时间求导得:

再对时间求导得:

于是,第i杆的输入速度和加速度可以表示为:

写成矩阵形式为:

另一方面,由图2可知,动平台上的较链点的速度vbi可由平台的角速度О=(ОX,Оy,ОZ)T和动平台原点P的速度v=(vX,vy,vZ)T求得:

式中,Ri为动坐标系原点到平台上较链点bi的位置向量。

对于全部6根杆,有:

简记为:

Jacobian矩阵为:

3并联机构的多学科优化

设定小400mm×l50mm的工作空间,以全局条件数j作为结构参数设计的灵活性指标。因此,最小化目标函数可以表示为:

其中

先在Matlab中编程,其中N=l000,然后集成到iSight中,初始值X=[600,220,30,90,1300],并选用连续二次规划优化方法和混合整型优化,其他采用默认设置。共运行29次,运行时间为240S。遗传算法种群个数为1000,变异和交叉概率分别为为0.08、0.8,运行时间为392S。

运行结果如表1所示。

图3为多学科优化的目标函数值与迭代次数图。

由上可知,多学科优化方法不仅收敛速度快,而且得到的结果更理想。

4结语

多学科设计优化(MultidiSciplinaryDeSignand Optimization,MDO)相比传统设计方法,考虑了学科间耦合设计,更加贴切问题的实质,同时采用多目标机制平衡学科间影响,探索出整体最优解,避免了串行重复设计,并通过并行设计有效缩短设计周期,是设计优化复杂工程系统的有效方法。本文在满足加工工作空间要求的前提下,以并联机床的工作空间的灵活性为目标函数,以五个结构参数作为设计变量,对并联机床的结构参数进行了优化设计。由运行结果可知,多学科优化方法比起传统的遗传算法不仅收敛速度更快,而且得到的结果也更优,从而证实了多学科优化方法明显优于传统的遗传优化方法。