温控系统数学模型的研究及应用

引言

在分析、设计控制系统的过程中,数学模型的建立至关重要。依靠数学模型,可以对系统的运动特性和输入输出关系有进一步的认识。实验室电加热锅炉温控系统在经过一系列的参数调整之后可以完成对温度的较好控制,但在实际应用中,由于温度变化是个缓慢的过程,有一定的滞后性,这就使得温控系统参数的调节往往需要较长的时间。

通过建立数学模型和仿真即能快速地将参数变化和温度变化趋势对应起来,仿真结果相较于实验结果更快速,因此,温控系统数学模型的研究对于实际系统参数设定及调整具有重要意义。

1数学建模方法

数学模型是对系统运动规律的定量描述,在解决实际问题的过程中,首先要建立被控对象的数学模型,简称"建模",系统建模主要有机理分析建模和系统辨识两大类方法。

机理分析建模方法是利用物理、化学等定律,推导出能够描述系统特性及内在结构的数学表达式,即机理模型。在系统结构不太复杂的情况下,机理建模具有一定的优势,更能反映系统各环节间的相互联系,体现局部环节的输入及输出关系,便于找到问题的症结所在。当然,由于机理建模往往需要对系统的运行进行简化和假设,所建模型与实际系统之间难免存在误差。

系统辨识是现代控制理论中的重要分支,通过辨识建模是建立在大量实验数据基础之上的。辨识建模就是通过估计系统的重要参数,建立模仿真实系统运行的模型。依据某一准则,从一组模型中筛选出一个与数据拟合得最好的模型,进而描述研究对象的静态或动态特性。

系统辨识建模只与系统的输入输出关系有关,且依赖于被控对象正常运行或实验时所得数据,因此,建模被控对象必须能够进行实验。

通过辨识所得模型难以有效反映系统的内在信息及系统本质。经典的系统辨识方法有:脉冲响应法、阶跃响应法、频率响应法、最大似然法和最小二乘法等,其中,最经典、应用最广泛的是最小二乘法。

机理建模和辨识建模都存在一定的优缺点,最有效的方法是将二者结合起来。人们在建模时,可由机理分析提出模型结构,比如系统的类型或阶次等,为了准确地描述系统的定量关系以及避免建模误差,则采用实验数据确定出模型参数。

2数学模型的建立

2.1机理模型的建立

本文以PCT-Ⅱ型过程控制实验系统中的电加热锅炉为控制对象,锅炉采用不锈钢材质。加热层(内胆)和冷却层(外套)都设有温度传感器,传感器选用Cu50。由于机理模型能够反映温控系统各环节间的联系及内在属性,所以,首先对系统进行机理建模。

由热力学第一定律的内容可列写如下微分方程:

式中,O为单位时间内电阻丝产生的热量:c、c水分别为锅炉加热丝及水的质量:7、7水分别为加热丝及水的比热容:l0、l0'分别为加热前、后内胆水温:s为不锈钢传热系数:S为传热面积。

u为锅炉加热丝电压,由于O与u之间呈非线性的关系,因此,需采用将非线性近似线性化的方法,即选取一个平衡点(O,u0),在该点处做曲线的切线,得K'=AO/Au。

于是,上述微分方程可写为:

式中,l为加热锅炉时间常数,l=c7/(sS+7水c水):Al为温度差,Al=l0'-l0:K为加热锅炉传热系数,K=K'/(sS+7水c水)。

在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,所得传递函数即可描述炉内温度变量对输入电压变量响应关系:

2.2机理模型基础上辨识建模

由于加热锅炉的内胆温度与外套温度之间存在耦合,耦合关系的改变会导致传递函数的改变,且耦合系数随炉内温度变化呈较强的非线性特性,所建数学模型的适应对象范围小,所以,在机理建模的基础上进行较简单的多变量系统辨识,假设系统的模型在某个较小范围内不变,通过采集数据,完成系统数学模型的建立。

具体实验过程如下:设定内胆的初始电压为18(内胆设定范围0~75,对应0~220V),加热内胆水温至稳定不变。保持外套电压开度不变,输入阶跃信号,将内胆电压给定由18升至25,设定采样周期为20s,记录内胆水温值变化过程,直到采样值保持稳定,停止实验。内胆水温数据记录如下:60 .7 ,62 .0 , 63.0,64.2 ,65.0,66.0,66.8 ,67.0,67.6,68.1,68.3,68.8 ,6 9.1,69.4 ,69.7,70.3,70.7,71.1,71.6,71.9 ,72.3,72.6,72.8 ,73.0,73.2 ,73 .5,73.7,73.8,73.9,74.1,74.1,74.2,74.3,74.4,74.4 ,74.5,74.6,74.6 ,74.6 ,74.6。

由机理建模所得数学模型,我们可以假设对象的传递函数为一阶,利用MATLAB仿真软件的线拟合工具箱对所采集到的数据进行线性拟合,得到输出温度拟合曲线如图1所示。

进而求得模型各参数的值,并得到传递函数为:

3数学模型的仿真应用

得到系统的数学模型之后,就可以完成PID调节器参数的整定,该温控系统主要是对比例参数KP、积分时间常数TI这两个参数的调整。根据所得传递函数选择若干组KP、TI参数值,通过MATLAB仿真,比较各组参数下仿真曲线响应速度及超调量,如图2所示。

由图2可知,实线所对应的KP、TI参数值对该模型下的控制效果较好,因此,将该组数据作为实验温控系统PID参数整定的初始值,在实验中,将内胆水温设定值由62℃变化至73℃时,由组态界面观测内胆水温变化曲线如图3所示。

由图3可以看出,依据数学建模所得参数对实际温控系统具有指导作用,内胆水温调节时间较短,基本可以做到无超调,控制效果较好。

4结语

本文通过对温控系统特性的分析对控制对象完成了机理数学模型的建立,在此基础上,采用系统辨识建模方法,根据采集到的大量实验数据,对各参数值进行了确定及修正,最终确定了数学模型。有了精确的数学模型,通过对不同PID控制参数下传递函数的MATLAB仿真,确定了实验最佳KP、TI初始值。实验结果证明,该组参数能够获得较小的超调量和较短的调节时间,数学模型的建立及仿真能够对实际系统参数设置及调节起到指导作用。